Giải bài 4 trang 105 – SGK môn Hình học lớp 11

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng :

a) H là trực tâm của tam giác ABC.

b) \(\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}\)

Lời giải:

Gợi ý:
- Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao.
- Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

a) Vì H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) nên \(OH\bot (ABC).\)

Suy ra: \(OH\bot BC \)

Mặt khác \(OA\bot OB; OA\bot OC \Rightarrow OA\bot (OBC)\Rightarrow OA\bot BC.\)

Do vậy, \( BC\bot (OAH)\Rightarrow AH\bot BC\) (1)

Tương tự ta cũng có: \(OH\bot AC.\)

\(BO\bot (OAC)\Rightarrow BO\bot AC\)

\(\Rightarrow AC\bot (OBH)\Rightarrow BH\bot AC\) (2)

Từ (1) và (2), ta có: H là trực tâm tam giác ABC.

b) Gọi A’ là giao điểm của AH và BC.

Vì \(BC\bot \left( OAH \right)\Rightarrow BC\bot OA' \)

Xét tam giác OAA’vuông tại O có \(OH\bot AA'\), ta có:

\(\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{OA{{'}^{2}}} \) (3)

Trong tam giác OBC vuông tại O có \(OA'\bot BC\) , ta có:

\(\dfrac{1}{OA{{'}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}\) (4)

Từ (3) và (4) ta được điều phải chứng minh.

Bài trước Bài sau

Lớp 11

Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

• Giải bài 1 trang 104 – SGK môn Hình học lớp 11 • Giải bài 2 trang 104 – SGK môn Hình học lớp 11 • Giải bài 3 trang 104 – SGK môn Hình học lớp 11 • Giải bài 4 trang 105 – SGK môn Hình học lớp 11 • Giải bài 5 trang 105 – SGK môn Hình học lớp 11 • Giải bài 6 trang 105 – SGK môn Hình học lớp 11 • Giải bài 7 trang 105 – SGK môn Hình học lớp 11 • Giải bài 8 trang 105 – SGK môn Hình học lớp 11

Lớp 11

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Các nước châu Á, Châu Phi và khu vực Mĩ LaTinh (Thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX) A - Khái quát nền kinh tế - xã hội của thế giới Phần 1: Công dân với kinh tế Chương 1: Cách mạng tháng mười Nga năm 1917 và cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội ở Liên Xô (1921 - 1941) Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Điện tích - Điện trường Chương 1: Việt Nam từ năm 1858 đến cuối thế kỉ XIX Chương 1: Sự điện li Chương 6 - Khúc xạ ánh sáng Chương 1: Sự điện li Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1 - Điện tích - Điện trường Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Chuyển hoá vật chất và năng lượng Chương 2: Cảm ứng Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song B - Địa lý khu vực và quốc gia Chương 2: Tổ hợp và xác suất Phần 2: Công dân với các vấn đề chính trị xã hội Chương 2: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 - 1918) Chương 2 - Dòng điện không đổi Chương 2: Các nước tư bản chủ nghĩa giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 2: Dòng điện không đổi Chương 2: Việt Nam từ đầu thế kỉ XX đến hết chiến tranh thế giới thứ nhất (1918) Chương 2: Nitơ - Photpho Chương 7 - Mắt. Các dụng cụ quang Chương 2: Nhóm Nitơ Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Chương 3: Sinh trưởng và phát triển Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Những thành tựu văn hóa thời cận đại Chương 3: Nhóm Cacbon Chương 3 - Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Các nước Châu Á giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Cacbon - Silic Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Sinh sản Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 4 - Từ trường Chương 4: Chiến tranh thế giới thứ hai (1939 – 1945) Chương 4: Giới hạn Chương 4: Từ trường Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Cảm ứng điện từ Chương 5 - Cảm ứng điện từ Chương 5: Hiđrocacbon no Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Hidrocacbon no Chương 6: Khúc xạ ánh sáng Chương 6: Hiđrocacbon không no Chương 6: Hidrocacbon không no Chương 7: Mắt. Các dụng cụ quang Chương 7: Hiđrocabon thơm - Nguồn hiđrocacbon thiên nhiên Chương 7: Hiđrocacbon thơm. Nguồn Hiđrocacbon thiên nhiên. Hệ thống hóa về Hiđrocacbon Chương 8: Dẫn xuất halogen. Ancol - Phenol Chương 8: Dẫn xuất Halogen - Ancol - Phenol Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic

+ Mở rộng xem đầy đủ