Giải bài 4 trang 130 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao

Cho dãy số (\(u_n\)) với \({{u}_{n}}=\dfrac{n}{{{3}^{n}}} \)

a) Chứng minh rằng \(\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}\le \dfrac{2}{3} \)

b) Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng \(0\le {{u}_{n}}\le {{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{n}}\) với mọi n

c) Chứng minh rằng dãy số (\(u_n\)) có giới hạn 0.

Lời giải:

Ta có:

\(\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{n+1}{{{3}^{n+1}}}:\dfrac{n}{{{3}^{n}}}=\dfrac{n+1}{3n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3n}\le \dfrac{2}{3} \,\,\forall n\ge 1\)

b)
Nhận xét: \(u_n > 0\) với mọi \(n\).

Ta chứng minh \({{u}_{n}}\le \dfrac{2}{3} \)

Với \(n=1\), ta có: \({{u}_{1}}=\dfrac{1}{3}\le \dfrac{2}{3}\) (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n=k, (k> 1)\) tức là: \({{u}_{k}}\le {{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{k}} \)

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\), thật vậy ta có:

\(\begin{aligned} & \dfrac{{{u}_{k+1}}}{{{u}_{k}}}\le \dfrac{2}{3} \\ & \Rightarrow {{u}_{k+1}}\le {{u}_{k}}.\dfrac{2}{3}\le {{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{k}}.\dfrac{2}{3}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{k+1}} \\ \end{aligned} \)

Vậy bất đẳng thức cũng đúng với \(n=k+1\) nên bất đẳng thức đúng với mọi \(n \ge 1\)

Ta có:

\(0<{{u}_{n}}\le {{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{k}}\Rightarrow \left| {{u}_{n}} \right|\le {{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{k}} \)

Mà \(\lim {{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{k}}=0\Rightarrow \lim |{{u}_{n}}|=0\Rightarrow \lim u_n=0 \)

Tham khảo lời giải các bài tập Bài 1: Dãy số có giới hạn 0 khác • Giải bài 1 trang 130 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao Chứng minh rằng các dãy... • Giải bài 2 trang 130 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao Chứng minh rằng hai dãy... • Giải bài 3 trang 130 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao Chứng minh rằng các dãy... • Giải bài 4 trang 130 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao Cho dãy số (\(u_n\))...

Bài trước Bài sau

Lớp 11

Bài 1: Dãy số có giới hạn 0

• Giải bài 1 trang 130 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao • Giải bài 2 trang 130 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao • Giải bài 3 trang 130 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao • Giải bài 4 trang 130 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao

Lớp 11

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Các nước châu Á, Châu Phi và khu vực Mĩ LaTinh (Thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX) A - Khái quát nền kinh tế - xã hội của thế giới Phần 1: Công dân với kinh tế Chương 1: Cách mạng tháng mười Nga năm 1917 và cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội ở Liên Xô (1921 - 1941) Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Điện tích - Điện trường Chương 1: Việt Nam từ năm 1858 đến cuối thế kỉ XIX Chương 1: Sự điện li Chương 6 - Khúc xạ ánh sáng Chương 1: Sự điện li Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1 - Điện tích - Điện trường Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Chuyển hoá vật chất và năng lượng Chương 2: Cảm ứng Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song B - Địa lý khu vực và quốc gia Chương 2: Tổ hợp và xác suất Phần 2: Công dân với các vấn đề chính trị xã hội Chương 2: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 - 1918) Chương 2 - Dòng điện không đổi Chương 2: Các nước tư bản chủ nghĩa giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 2: Dòng điện không đổi Chương 2: Việt Nam từ đầu thế kỉ XX đến hết chiến tranh thế giới thứ nhất (1918) Chương 2: Nitơ - Photpho Chương 7 - Mắt. Các dụng cụ quang Chương 2: Nhóm Nitơ Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Chương 3: Sinh trưởng và phát triển Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Những thành tựu văn hóa thời cận đại Chương 3: Nhóm Cacbon Chương 3 - Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Các nước Châu Á giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Cacbon - Silic Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Sinh sản Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 4 - Từ trường Chương 4: Chiến tranh thế giới thứ hai (1939 – 1945) Chương 4: Giới hạn Chương 4: Từ trường Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Cảm ứng điện từ Chương 5 - Cảm ứng điện từ Chương 5: Hiđrocacbon no Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Hidrocacbon no Chương 6: Khúc xạ ánh sáng Chương 6: Hiđrocacbon không no Chương 6: Hidrocacbon không no Chương 7: Mắt. Các dụng cụ quang Chương 7: Hiđrocabon thơm - Nguồn hiđrocacbon thiên nhiên Chương 7: Hiđrocacbon thơm. Nguồn Hiđrocacbon thiên nhiên. Hệ thống hóa về Hiđrocacbon Chương 8: Dẫn xuất halogen. Ancol - Phenol Chương 8: Dẫn xuất Halogen - Ancol - Phenol Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic

+ Mở rộng xem đầy đủ