Giải bài 4 trang 163 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau
\(a)y={{x}^{2}}-x\sqrt{x}+1 \)
\(b)y=\sqrt{2-5x-{{x}^{2}}} \)
\(c)\,y=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}} \) (\(a\) là hằng số)
\(d)\,y=\dfrac{1+x}{\sqrt{1-x}} \)
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức đạo hàm trong bảng tóm tắt trang 162 SGK và công thức \((\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\)
a) Đưa mỗi hạng tử về lũy thừa hữu tỉ.
\(\begin{align} & y={{x}^{2}}-{{x}^{\frac{3}{2}}}+1 \\ & \Rightarrow y'=2x-\dfrac{3}{2}{{x}^{\frac{1}{2}}}=2x-\dfrac{3}{2}\sqrt{x} \\ \end{align} \)
b) Sử dụng công thức \(\left( \sqrt{u} \right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}} \) với \(u=u\left( x \right) \)
\(y'=\dfrac{\left( 2-5x-{{x}^{2}} \right)'}{2\sqrt{2-5x-{{x}^{2}}}}=\dfrac{-2x-5}{2\sqrt{2-5x-{{x}^{2}}}} \)
c) Sử dụng công thức \( \left( \dfrac{u}{v} \right)'=\dfrac{u'v-uv'}{{{v}^{2}}}\) và \(\left( \sqrt{u} \right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\)
\(\begin{align} & y'=\dfrac{\left( {{x}^{3}} \right)'\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}-{{x}^{3}}\left( \sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)'}{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}} \\ & =\dfrac{3{{x}^{2}}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}-{{x}^{3}}.\dfrac{\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)'}{2\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}}{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}} \\ & =\dfrac{6{{x}^{2}}\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)-{{x}^{3}}\left( -2x \right)}{2\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\dfrac{3{{a}^{2}}{{x}^{2}}-2{{x}^{4}}}{{{\left( \sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)}^{3}}} \\ \end{align} \)
d) Tương tự câu c)
\(\begin{align} & y'=\dfrac{\left( 1+x \right)'\sqrt{1-x}-\left( 1+x \right)\left( \sqrt{1-x} \right)'}{1-x} \\ & =\dfrac{\sqrt{1-x}-\left( 1+x \right).\dfrac{-1}{2\sqrt{1-x}}}{1-x} \\ & =\dfrac{2\left( 1-x \right)+\left( 1+x \right)}{2{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{3}}} \\ & =\dfrac{-x+3}{2{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{3}}} \\ \end{align} \)