Giới hạn của hàm số- Đại số và Giải tích toán lớp 11

1. giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1.1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Cho khoảng \(K\) chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \(K\) hoặc trên \(K\backslash \left\{x_0\right\}\)

Ta nói hàm số \(y=f(x)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x\) dần tới \(x_0\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n\in K\backslash \left\{x_0\right\}\) và \(x_n\to x_0\), ta có \(f(x_n)\to L\)

Kí hiệu: \(\lim\limits_{x \to x_0}f(x) =L\) hay \(f(x)\to L\) khi \(x \to x_0\)

1.2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Giả sử \(\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=L, \lim\limits_{x \to x_0}g(x)=M\). Khi đó

+) \(\lim\limits_{x \to x_0}[f(x)\pm g(x)]=L\pm M\)

+) \(\lim\limits_{x \to x_0}[f(x).g(x)]=L.M\)

+) \(\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}(M\neq0)\)

b) Nếu \(f(x) \geq0\) và \(\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=L\) thì :

\(L\geq 0, \lim\limits_{x \to x_0}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}\)

1.3. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2

- Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((x_0;b)\)

Số \(L\) được gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y=f(x)\) khi \(x\to x_0\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_0 < x_n < b\) và \(x_n\to x_0\), ta có \(f(x_n)\to L\)

Kí hiệu: \(\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=L\)
- Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;x_0)\)

Số \(L\) được gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y=f(x)\) khi \(x\to x_0\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(a< x_n< x_0\) và \(x_n\to x_0\), ta có \(f(x_n)\to L\)
Kí hiệu: \(\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=L\)

Định lí 2

\(\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=L\) khi và chỉ khi \(\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=L\)

2. Định lí hữu hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;+\infty)\)

Ta nói hàm số \(y=f(x)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x \to +\infty\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n>a\) và \(x_n \to +\infty\), ta có \(f(x_n) \to L\)

Kí hiệu : \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=L\) hay \(f(x)\to L\) khi \(x\to +\infty\)

b) Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((-\infty;a)\)

Ta nói hàm số \(y=f(x)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x \to -\infty\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n< a\) và \(x_n \to -\infty\), ta có \(f(x_n) \to L\)
Kí hiệu: \(\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=L\) hay \(f(x)\to L\) khi \(x \to -\infty\)

3. Giới hạn vô cực của hàm số

3.1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;+\infty)\)
Ta nói hàm số \(y=f(x)\) có giới hạn là \(-\infty\) số khi \(x\to +\infty\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n>a\) và \(x_n \to +\infty\), ta có \(f(x_n) \to -\infty\)
Kí hiệu:\(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty\) hay \(f(x_n) \to -\infty\) khi \(x\to +\infty\)

3.2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) \(\lim\limits_{x \to +\infty}x^k=+\infty\) với \(k\) nguyên dương

b) \(\lim\limits_{x \to -\infty} x^k=-\infty\) , \(k\) lẻ

c) \(\lim\limits_{x \to -\infty} x^k=+\infty\), \(k\) chẵn

Bài trước Bài sau

Lớp 11

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Các nước châu Á, Châu Phi và khu vực Mĩ LaTinh (Thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX) A - Khái quát nền kinh tế - xã hội của thế giới Phần 1: Công dân với kinh tế Chương 1: Cách mạng tháng mười Nga năm 1917 và cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội ở Liên Xô (1921 - 1941) Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Điện tích - Điện trường Chương 1: Việt Nam từ năm 1858 đến cuối thế kỉ XIX Chương 1: Sự điện li Chương 6 - Khúc xạ ánh sáng Chương 1: Sự điện li Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1 - Điện tích - Điện trường Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Chuyển hoá vật chất và năng lượng Chương 2: Cảm ứng Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song B - Địa lý khu vực và quốc gia Chương 2: Tổ hợp và xác suất Phần 2: Công dân với các vấn đề chính trị xã hội Chương 2: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 - 1918) Chương 2 - Dòng điện không đổi Chương 2: Các nước tư bản chủ nghĩa giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 2: Dòng điện không đổi Chương 2: Việt Nam từ đầu thế kỉ XX đến hết chiến tranh thế giới thứ nhất (1918) Chương 2: Nitơ - Photpho Chương 7 - Mắt. Các dụng cụ quang Chương 2: Nhóm Nitơ Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Chương 3: Sinh trưởng và phát triển Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Những thành tựu văn hóa thời cận đại Chương 3: Nhóm Cacbon Chương 3 - Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Các nước Châu Á giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Cacbon - Silic Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Sinh sản Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 4 - Từ trường Chương 4: Chiến tranh thế giới thứ hai (1939 – 1945) Chương 4: Giới hạn Chương 4: Từ trường Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Cảm ứng điện từ Chương 5 - Cảm ứng điện từ Chương 5: Hiđrocacbon no Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Hidrocacbon no Chương 6: Khúc xạ ánh sáng Chương 6: Hiđrocacbon không no Chương 6: Hidrocacbon không no Chương 7: Mắt. Các dụng cụ quang Chương 7: Hiđrocabon thơm - Nguồn hiđrocacbon thiên nhiên Chương 7: Hiđrocacbon thơm. Nguồn Hiđrocacbon thiên nhiên. Hệ thống hóa về Hiđrocacbon Chương 8: Dẫn xuất halogen. Ancol - Phenol Chương 8: Dẫn xuất Halogen - Ancol - Phenol Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic

Chương 4 : Giới hạn

•Bài 1: Giới hạn của dãy số •Bài 2 : Giới hạn của hàm số •Bài 3 : Hàm số liên tục

+ Mở rộng xem đầy đủ