Giới hạn của dãy số - Đại số và Giải tích toán lớp 11

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số \((u_n)\) có giới hạn là 0 khi \(n\) dần tới dương vô cực, nếu \(\mid u_n \mid\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0\) hay \(u_n\to 0\) khi \(n\to +\infty\)

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số \((v_n)\) có giới hạn là số \(a\) (hay \(v_n\) dần tới \(a\)) khi \(n \to +\infty\), nếu \(\lim\limits_{n \to +\infty}(v_n-a)=0\)

Kí hiệu: \(\lim\limits_{n \to +\infty}v_n=a\) hay \(v_n\to a\) khi \(n\to +\infty\)

1.2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) \(\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{1}{a}=0;\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{1}{n^k}=0\), với \(k\) nguyên dương

b) \(\lim\limits_{n \to +\infty}q^n=0, \mid q\mid <1\)

c) Nếu \(u_n=c\) thì \(\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\lim\limits_{n \to +\infty}c=c\)

Chú ý

Từ nay về sau thay cho \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=a\), ta viết tắt là \(\lim\limits u_n=a\)

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Nếu \(lim u_n=a , lim v_n=b\) thì

+) \(lim (u_n\pm v_n)=a\pm b\)

+) \(lim (u_n.v_n)=a.b\)

+) \(lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b}(b\neq 0)\)

b) Nếu \(u_n\geq 0\) với mọi \(n\) và lim \(lim u_n=a\) thì : \(a\geq 0, lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}\)

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

- Cấp số nhân vô hạn \((u_n)\) có công bội \(q\), với \(\mid q \mid <1\) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

- Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được kí hiệu là \(S= u_1+u_2+...+u_n\)

\(S= \frac{u_1}{1-q}(\mid q \mid <1)\)

4. Giới hạn vô cực

4.1. Định nghĩa

- Ta nói dãy số \((u_n)\) có giới hạn \(+\infty\) khi \(n\rightarrow +\infty\), nếu \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: \(lim u_n=+\infty\) hay \(u_n\rightarrow +\infty\) khi \(n\rightarrow +\infty\)

- Dãy số \((u_n)\) đươc gọi là có giới hạn \(-\infty\) khi \(n\rightarrow +\infty\) nếu \(lim (-u_n)=+\infty\)

Kí hiệu: \(lim u_n=-\infty\) hay \(u_n\rightarrow -\infty\) khi \(n\rightarrow +\infty\)

4.2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) \(lim n^k =+\infty\) với \(k\) nguyên dương

b) \(lim q^n=+\infty\) nếu \(q>1\)

4.3. Định lí

Định lí 2

a) Nếu \(\lim\limits u_n=a\) và \(\lim\limits v_n=\pm \infty\) thì \(\lim\limits \frac{u_n}{v_n}=0\)

b) Nếu \(\lim\limits u_n=a>0\) và \(\lim\limits v_n=0\), \(v_n>0\) với mọi \(n\) thì \(\lim\limits \frac{u_n}{v_n}=+\infty\)

c) Nếu \(\lim\limits u_n=+\infty\) và \(\lim\limits v_n=a>0\) thì \(\lim\limits u_nv_n=+\infty\)

Bài trước Bài sau

Lớp 11

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Các nước châu Á, Châu Phi và khu vực Mĩ LaTinh (Thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX) A - Khái quát nền kinh tế - xã hội của thế giới Phần 1: Công dân với kinh tế Chương 1: Cách mạng tháng mười Nga năm 1917 và cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội ở Liên Xô (1921 - 1941) Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Điện tích - Điện trường Chương 1: Việt Nam từ năm 1858 đến cuối thế kỉ XIX Chương 1: Sự điện li Chương 6 - Khúc xạ ánh sáng Chương 1: Sự điện li Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1 - Điện tích - Điện trường Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Chuyển hoá vật chất và năng lượng Chương 2: Cảm ứng Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song B - Địa lý khu vực và quốc gia Chương 2: Tổ hợp và xác suất Phần 2: Công dân với các vấn đề chính trị xã hội Chương 2: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 - 1918) Chương 2 - Dòng điện không đổi Chương 2: Các nước tư bản chủ nghĩa giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 2: Dòng điện không đổi Chương 2: Việt Nam từ đầu thế kỉ XX đến hết chiến tranh thế giới thứ nhất (1918) Chương 2: Nitơ - Photpho Chương 7 - Mắt. Các dụng cụ quang Chương 2: Nhóm Nitơ Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Chương 3: Sinh trưởng và phát triển Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Những thành tựu văn hóa thời cận đại Chương 3: Nhóm Cacbon Chương 3 - Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Các nước Châu Á giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Cacbon - Silic Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Sinh sản Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 4 - Từ trường Chương 4: Chiến tranh thế giới thứ hai (1939 – 1945) Chương 4: Giới hạn Chương 4: Từ trường Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Cảm ứng điện từ Chương 5 - Cảm ứng điện từ Chương 5: Hiđrocacbon no Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Hidrocacbon no Chương 6: Khúc xạ ánh sáng Chương 6: Hiđrocacbon không no Chương 6: Hidrocacbon không no Chương 7: Mắt. Các dụng cụ quang Chương 7: Hiđrocabon thơm - Nguồn hiđrocacbon thiên nhiên Chương 7: Hiđrocacbon thơm. Nguồn Hiđrocacbon thiên nhiên. Hệ thống hóa về Hiđrocacbon Chương 8: Dẫn xuất halogen. Ancol - Phenol Chương 8: Dẫn xuất Halogen - Ancol - Phenol Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic

Chương 4 : Giới hạn

•Bài 1: Giới hạn của dãy số •Bài 2 : Giới hạn của hàm số •Bài 3 : Hàm số liên tục

+ Mở rộng xem đầy đủ