Giải bài 17 trang 195 SGK giải tích nâng cao 12
Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: \(-i;4i;-4;1+4\sqrt{3}i. \)
Gợi ý: Số phức \({w}=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right) \) là căn bậc hai của số phức \(z\Leftrightarrow {w}^{2}=z\).
Ta có \({w}^{2}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi \)
a) \(z=-i\)
\({w}^{2}=z\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0\,\,\left( 1 \right) \\ & 2ab=-1\,\left( 2 \right) \\ \end{aligned} \right. \)
Từ \(\left( 2 \right)\Rightarrow a=-\dfrac{1}{2b}\) thay vào (1) ta được:
\(\dfrac{1}{4{{b}^{2}}}-{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{b}^{4}}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow b=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Với \(b=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow a=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Với \(b=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow a=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)
Vậy số phức \(z\) có hai căn bậc hai là \({{w}_{1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}i,{{w}_{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i \) .
b) \(z=4i\)
\({w}^{2}=z\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0\,\,\left( 1 \right) \\ & 2ab=4\,\left( 2 \right) \\ \end{aligned} \right. \)
Từ \(\left( 2 \right)\Rightarrow a=\dfrac{2}{b}\) thay vào (1) ta được:
\(\dfrac{4}{{{b}^{2}}}-{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{b}^{4}}=4\Leftrightarrow b=\pm \sqrt{2}\)
Với \(b=\sqrt{2}\Rightarrow a=\sqrt{2}\)
Với \(b=-\sqrt{2}\Rightarrow a=-\sqrt{2} \)
Vậy số phức \(z\) có hai căn bậc hai là \({{w}_{1}}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i,{{w}_{2}}=-\sqrt{2}-\sqrt{2}i\) .
c) \(z=-4=4i^2\)
Vậy số phức \(z\) có hai căn bậc hai là \({{w}_{1}}=2i,{{w}_{2}}=-{2}i\) .
d) \(z=1+4\sqrt{3}i\)
\({w}^{2}=z\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=1\,\,\left( 1 \right) \\ & 2ab=4\sqrt{3}\,\left( 2 \right) \\ \end{aligned} \right. \)
Từ \(\left( 2 \right)\Rightarrow a=\dfrac{2\sqrt{3}}{b}\) thay vào (1) ta được:
\(\dfrac{12}{{{b}^{2}}}-{{b}^{2}}=1\Leftrightarrow {{b}^{4}}+{{b}^{2}}-12=0\Leftrightarrow b=\pm \sqrt{3} \)
Với \(b=\sqrt{3}\Rightarrow a=2\)
Với \(b=-\sqrt{3}\Rightarrow a=-2\)
Vậy số phức \(z\) có hai căn bậc hai là \({{w}_{1}}=2+\sqrt{3}i,{{w}_{2}}=-2-\sqrt{3}i\) .