Giải bài 30 trang 206 SGK giải tích nâng cao 12

Gọi M, M' là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số

\(z=3+i,z'=\left( 3-\sqrt{3} \right)+\left( 1+3\sqrt{3} \right)i\)

a) Tính \(\dfrac{z'}{z}\).

b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của \(z'\) với acgumen của \(z\) là số đo của góc lượng giác \(\left( OM,OM' \right)\). Tính số đo đó.

Lời giải:

a) Ta có:

\(\begin{aligned} \dfrac{z'}{z}&=\dfrac{\left( 3-\sqrt{3} \right)+\left( 1+3\sqrt{3} \right)i}{3+i} \\ & =\dfrac{\left[ \left( 3-\sqrt{3} \right)+\left( 1+3\sqrt{3} \right)i \right]\left( 3-i \right)}{10} \\ & =\dfrac{9-3\sqrt{3}+1+3\sqrt{3}+i\left( 3+9\sqrt{3}-3+\sqrt{3} \right)}{10} \\ & =1+i\sqrt{3} \\ \end{aligned} \)

Ta có:

\(\begin{aligned} \text{sđ}\left( OM,OM' \right)& =\text{sđ}\left( Ox,OM' \right)-\text{sđ}\left( Ox,OM \right) \\ & =\varphi '-\varphi \\ & = \text{acgumen của} \dfrac{z'}{z} \,(\text{sai khác } k2\pi)\\ \end{aligned} \)

Trong đó \(\varphi\) là acgumen của \(z\), \(\varphi'\) là acgumen của \(z'\).

Mà \(\dfrac{z'}{z}=1+i\sqrt{3}=2\left(\cos\dfrac{\pi }{3}+i\sin\dfrac{\pi }{3}\right)\) có acgumen là \(\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Suy ra góc lượng giác của \(\left( OM,OM' \right)\) có số đo \(\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\).

Ghi nhớ:
Số phức \(z=a+bi\) có dạng lượng giác \(z=r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)\), trong đó \(\left\{ \begin{align} & r=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ & \cos \varphi =\dfrac{a}{r},\sin \varphi =\dfrac{b}{r} \\ \end{align} \right. \)

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 3: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ