Giải bài 39 trang 209 SGK giải tích nâng cao 12
Giải các phương trình sau trên \(\mathbb{C}\).
a) \({{\left( z+3-i \right)}^{2}}-6\left( z+3-i \right)+13=0\);
b) \({{\left( \dfrac{iz+3}{z-2i} \right)}^{2}}-3\dfrac{iz+3}{z-2i}-4=0\);
c) \({{\left( {{z}^{2}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=0\).
a) \({{\left( z+3-i \right)}^{2}}-6\left( z+3-i \right)+13=0\)
Đặt \(z+3-i=w\), phương trình trở thành:
\({{{w}}^{2}}-6w+13=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {w}=3+2i \\ & w=3-2i \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z+3-i=3+2i \\ & z+3-i=3-2i \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=3i \\ & z=-i \\ \end{aligned} \right. \\ \)
b) \({{\left( \dfrac{iz+3}{z-2i} \right)}^{2}}-3\dfrac{iz+3}{z-2i}-4=0\)
Điều kiện \(z\ne 2i\).
Đặt \(\dfrac{iz+3}{z-2i}=w\), phương trình trở thành
\({{w}^{2}}-3w-4=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & w=-1 \\ & w=4 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \dfrac{iz+3}{z-2i}=-1 \\ & \dfrac{iz+3}{z-2i}=4 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & iz+3=-z+2i \\ & iz+3=4z-8i \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=\dfrac{-3+2i}{1+i} \\ & z=\dfrac{3+8i}{4-i} \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=\dfrac{-1+5i}{2} \\ & z=\dfrac{4+35i}{17} \\ \end{aligned} \right. \)
c) \({{\left( {{z}^{2}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=0\)
\(\Leftrightarrow {{\left( {{z}^{2}}+1 \right)}^{2}}=-{{\left( z+3 \right)}^{2}}={{\left[ \left( z+3 \right)i \right]}^{2}} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{z}^{2}}+1=\left( z+3 \right)i \\ & {{z}^{2}}+1=-\left( z+3 \right)i \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{z}^{2}}-iz+1-3i=0\,\left( 1 \right) \\ & {{z}^{2}}+iz+1+3i=0\,\left( 2 \right) \\ \end{aligned} \right. \)
Từ (1) ta có
\(\Delta ={{i}^{2}}-4\left( 1-3i \right)=-5+12i={{\left( 2+3i \right)}^{2}}\)
Suy ra (1) có hai nghiệm là \({{z}_{1}}=1+2i,{{z}_{2}}=-1-i\)
Từ (2) ta có
\(\Delta ={{i}^{2}}-4\left( 1+3i \right)=-5-12i={{\left( 2-3i \right)}^{2}}\)
Suy ra (2) có hai nghiệm là \({{z}_{3}}=1-2i,{{z}_{4}}=-1+i\).
Vậy phương trình có bốn nghiệm.