Giải bài 66, 67 trang 179 SGK giải tích nâng cao 12
66. Cho hình phẳng A giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y={{x}^{2}}\) và \(y=6-\left| x \right|\). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục tung là
(A) \(\dfrac{32\pi }{3};\) (B) \(9\pi ;\) (C) \(8\pi ;\) (D) \(\dfrac{20\pi }{3}.\)
67. Cho a, b là hai số dương. Gọi K là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai, giới hạn bởi parabol \(y=ax^2\) và đường thẳng \(y=-bx\). Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay K xung quanh trục hoành là một số không phụ thuộc vào giá trị của a và b nếu a và b thỏa mãn điều kiện sau
(A) \({{b}^{4}}=2{{a}^{5}};\) (B) \({{b}^{3}}=2{{a}^{5}};\) (C) \({{b}^{5}}=2{{a}^{3}};\) (D) \({{b}^{4}}=2{{a}^{2}}.\)
66. Ta có \(y=6-\left| x \right|=\left\{ \begin{aligned} & 6-x\,\text{nếu}\,x\ge 0 \\ & 6+x\,\text{nếu}\,x<0 \\ \end{aligned} \right. \)
Giao điểm của (P) với đường thẳng \(y = 6 - x\) (với \(x\ge 0\)) là
\(\left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}=6-x \\ & x\ge 0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=2\left( y=4 \right) \)
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là
\(V=\int\limits_{0}^{4}{\pi {{\left( \sqrt{y} \right)}^{2}}dy}+\int\limits_{4}^{6}{\pi {{\left( 6-y \right)}^{2}}dy} \\ =\int\limits_{0}^{4}{\pi ydy}+\int\limits_{4}^{6}{\pi {{\left( y-6 \right)}^{2}}dy} \\ =\pi \left( \dfrac{{{y}^{2}}}{2}\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 4 \\ \end{smallmatrix}}+\dfrac{{{\left( y-6 \right)}^{3}}}{3} \right.\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 4 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 6 \\ \end{smallmatrix}} \right. \right) \\ =8\pi +\dfrac{8\pi }{3}=\dfrac{32\pi }{3} \)
Chọn (A).
65. Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng là nghiệm của phương trình
\(a{{x}^{2}}=-bx\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=-\dfrac{b}{a} \\ \end{aligned} \right. \)
Thể tích hình phẳng cần tìm là
\(V=\pi \int\limits_{-\dfrac{b}{a}}^{0}{\left( {{b}^{2}}{{x}^{2}}-{{a}^{2}}{{x}^{4}} \right)dx} \\ =\pi \left( \dfrac{1}{3}{{b}^{2}}{{x}^{3}}-\dfrac{1}{5}{{a}^{2}}{{x}^{5}} \right)\left| _{-\dfrac{b}{a}}^{\begin{smallmatrix} 0 \\ \\\\ \end{smallmatrix}} \right. \\ =\dfrac{2\pi {{b}^{5}}}{15{{a}^{3}}} \)
Vì \(\dfrac{{{b}^{5}}}{{{a}^{3}}}\) là hằng số \(\Rightarrow {{b}^{5}}=k{{a}^{3}} \)
Lấy \(k = 2\) chọn (C).
Ghi nhớ: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x),y=g(x)\) và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) quanh trục Ox là: \(S=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left| {f^{2}({x})}-g^2(x) \right|dx}\).