Giải bài 82-83 trang 130 SGK giải tích nâng cao 12
Giải các bất phương trình sau:
82.a) \(\log _{0,5}^{2}x+{{\log }_{0,5}}x-2\le 0;\) b) \({{2}^{x}}+{{2}^{-x+1}}-3<0\).
83.a) \({{\log }_{0,1}}\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)>{{\log }_{0,1}}\left( x+3 \right);\) b) \({{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x}^{2}}-6x+5 \right)+2{{\log }_{3}}\left( 2-x \right)\ge 0\).
82. a) Điều kiện: \(x>0 \)
\(\log _{0,5}^{2}x+{{\log }_{0,5}}x-2\le 0 \)
Đặt \({{\log }_{0,5}}x=t \) bất phương trình trở thành
\({{t}^{2}}+t-2\le 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & t\ge -2 \\ & t\le 1 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{\log }_{0,5}}x\ge -2 \\ & {{\log }_{0,5}}x\le 1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x\le 4 \\ & x\ge \dfrac{1}{2} \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy \(S=\left[ \dfrac{1}{2};4 \right] \)
b) \({{2}^{x}}+{{2}^{-x+1}}-3<0\)
\(\Leftrightarrow {{2}^{2x}}-{{3.2}^{x}}+2<0 \\ \)
Đặt \( {{2}^{x}}=t \\ \) bất phương trình trở thành
\( {{t}^{2}}-3t+2<0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & t>1 \\ & t<2 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{2}^{x}}>1 \\ & {{2}^{x}}<2 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x>0 \\ & x<1 \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy \(S=\left( 0;1 \right)\)
83.a) Điều kiện: \(x\in \left( -3 ;-2 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)\)
\({{\log }_{0,1}}\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)>{{\log }_{0,1}}\left( x+3 \right) \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-2 < x+3 \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}} < 5\Leftrightarrow -\sqrt{5} < x < \sqrt{5} \)
Vậy \(S=\left( -\sqrt{5} ;-2 \right)\cup \left(1; \sqrt{5} \right) \)
b) Điều kiện: \(x\in \left( -\infty;1 \right)\)
\({{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x}^{2}}-6x+5 \right)+2{{\log }_{3}}\left( 2-x \right)\ge 0 \\ \Leftrightarrow -{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-6x+5 \right)+{{\log }_{3}}{{\left( 2-x \right)}^{2}}\ge 0 \\ \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 4-4x+{{x}^{2}} \right)\ge {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-6x+5 \right) \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+4\ge {{x}^{2}}-6x+5 \\ \Leftrightarrow 2x\ge 1 \\ \Leftrightarrow x\ge \dfrac{1}{2} \)
Vậy \(S=\left[\dfrac{1}{2}; 1 \right)\)