Giải bài 1.34 trang 21 - SBT Giải tích 12

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right)=\sqrt{25-{{x}^{2}}}\) trên đoạn \([-4;4]\);

b) \(f\left( x \right)=|{{x}^{2}}-3x+2|\) trên đoạn \([-10;10]\);

c) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{\sin x}\) trên đoạn \(\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{5\pi }{6} \right]\);

d) \(f\left( x \right)=2\sin x+\sin 2x\) trên đoạn \( \left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right]\).

Lời giải:

Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm \({{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\)
Bước 3: Tìm \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)
\(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)

a) \(f\left( x \right)=\sqrt{25-{{x}^{2}}}\) trên đoạn \([-4;4]\).
\(f'\left( x \right)=\dfrac{-x}{\sqrt{25-{{x}^{2}}}}\)
\(f′(x) > 0\) trên khoảng \((-4; 0)\) và \(f’(x) < 0\) trên khoảng \((0; 4)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \(f_{CĐ} = 5\)

Mặt khác, ta có \(f(-4) = f(4) = 3\)
Vậy \(\underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=5;\,\,\,\underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=3\,\,\,\)
b) \(f\left( x \right)=|{{x}^{2}}-3x+2|\) trên đoạn \([-10;10]\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(g\left( x \right)={{x}^{2}}-3x+2\)
Ta có: \(g'\left( x \right)=2x-3;\,\,g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2} \)

Vì \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & g\left( x \right)\,\,\,khi\,\,{{x}^{2}}-3x+2\ge 0, \\ & -g\left( x \right)\,\,khi\,{{x}^{2}}-3x+2<0 \\ \end{align} \right.\)
nên ta có đồ thị của \(f(x)\) như sau:

Từ đồ thị suy ra
\(\underset{\left[ -10;10 \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=f\left( -10 \right)=132;\,\,\,\underset{\left[ -10;10 \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=f\left( 2 \right)=0\,\,\,\)
c) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{\sin x}\) trên đoạn \(\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{5\pi }{6} \right]\)
\(f'\left( x \right)=-\dfrac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}; \)
\(f'\left( x \right)<0\) trên \(\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2} \right)\) và \(f'\left( x \right)>0\) trên \(\left( \dfrac{\pi }{2};\dfrac{5\pi }{6} \right]\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\dfrac{\pi }{2}\) và \({{f}_{CT}}=f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=1 \)
Mặt khác, \( f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{2}{\sqrt{3}};\,\,f\left( \dfrac{5\pi }{6} \right)=2 \)
Vậy

\(\underset{\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{5\pi }{6} \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=2;\,\,\,\underset{\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{5\pi }{6} \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=1\,\)
d) \(f\left( x \right)=2\sin x+\sin 2x\) trên đoạn \( \left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right]\) .
\(\begin{aligned} & f'\left( x \right)=2\cos x+2\cos 2x=4\cos \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{3x}{2}; \\ & f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos \dfrac{x}{2}=0 \\ & cos\dfrac{3x}{2}=0\, \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{3} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Ta có \(f\left( 0 \right)=0,\,\,f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2},\,\,f\left( \pi \right)=0,\,\,f\left( \dfrac{3\pi }{2} \right)=-2 \)
Từ đó ta có:

\(\underset{\left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2};\,\,\,\underset{\left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=-2\,\)

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ