Giải bài 1.4 trang 9 - SBT Giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) \(y=x-\sin x,x\in [0;2\pi]\);

b) \(y=\sin \dfrac{1}{x}, (x>0)\).

Lời giải:

a)\(y=x-\sin x,\,x\in \left[ 0;2\pi \right]\)

\(y'=1-\cos x\ge 0\)với mọi \(x\in \left[ 0;2\pi \right]\)

Dâu “=” xảy ra chỉ tại \(x=0\) và \(x=2\pi\) .

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ 0;2\pi \right]\).

b) Xét hàm số \(y=\sin \,\dfrac{1}{x}\) với x > 0

\(y'=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}cos\dfrac{1}{x}\) .

Giải bất phương trình sau trên khoảng \(\left( 0;+\infty \right)\) :

\(\begin{align} & \dfrac{1}{{{x}^{2}}}\left( -cos\dfrac{1}{x} \right)>0\Leftrightarrow cos\dfrac{1}{x}<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{2}\left( 1+4k \right)<\dfrac{1}{x}<\dfrac{\pi }{2}\left( 3+4k \right),\,k=0,1,2... \\ & \Leftrightarrow \dfrac{2}{\pi \left( 1+4k \right)}>x>\dfrac{2}{\pi \left( 3+4k \right)},k=0,1,2... \\ \end{align}\)

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng

\(...,\left( \dfrac{2}{\left( 4k+3 \right)\pi };\dfrac{2}{\left( 4k+1 \right)\pi } \right),\left( \dfrac{2}{\left( 4k-1 \right)\pi };\dfrac{2}{\left( 4k-3 \right)\pi } \right),...,\left( \dfrac{2}{7\pi };\dfrac{2}{5\pi } \right),\left( \dfrac{2}{3\pi };\dfrac{2}{\pi } \right)\)

và nghịch biến trên các khoảng

\(...,\left( \dfrac{2}{\left( 4k+1 \right)\pi };\dfrac{2}{\left( 4k-1 \right)\pi } \right),...,\left( \dfrac{2}{5\pi };\dfrac{2}{3\pi } \right),\left( \dfrac{2}{\pi };+\infty \right)\) với \(k=0,1,2...\)

Ghi nhớ
Giả sử \(f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((a;b)\). Thế thì:
\(f'(x)>0, \forall x \in (a;b) \Rightarrow f(x)\) đồng biến trên khoảng \((a;b)\).
\(f'(x)<0, \forall x \in (a;b) \Rightarrow f(x)\)nghịch biến trên khoảng \((a;b)\).

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ