Giải bài 18 trang 22 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

\(a) y=2\sin^2 x+2\sin x-1\)

\(b)y=\cos^22x-\sin x\cos x+4\)

Lời giải:

Gợi ý:
Tập giá trị của \(\sin x\) và \(\cos x\) là \([-1;1]\)
Hướng dẫn:
Bước 1: Đặt \(\sin x=t\,\, (t\in [-1;1]) \,\, (\cos x=t)\)
Bước 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y=f(t)\) trên \([-1;1]\)

Đặt \(\sin x=t\,\, (t\in [-1;1]) \)

Ta có:

\(f(t)=2t^2+2t-1\\ f'(t)=4t+2\\ f'(t)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac 1 2\in [-1;1]\)

Ta có:

\(f(-1)=-1;\,f\left(-\dfrac 1 2\right)=-\dfrac 3 2;f(1)=3\)

Vậy:

\(\begin{align} & \underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{Min}}\,f\left( t \right)=-\dfrac{3}{2}\Rightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{Min}}\,y=-\dfrac{3}{2} \\ & \underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( t \right)=3\Rightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{Max}}\,y=3 \\ \end{align} \)

Ta có:

\(y=\cos^2 2x-\sin x\cos x+4\\=\cos^2 2x-\dfrac 1 2 \sin 2x+4\\=-\sin^2 2x-\dfrac 1 2\sin 2x+5\)

Đặt \(t=\sin 2x, -1\le t \le 1\)

\(y=f(t)=-t^2-\dfrac 1 2 t +5\\ f'(t)=2t-\dfrac 1 2\\ f'(t)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac 1 4 \in [-1;1]\)

Ta có:

\(f(-1)=\dfrac 9 2;f\left(-\dfrac 1 4\right)=\dfrac {81}{16};f(1)=\dfrac 7 2\)

Vậy

\(\begin{align} & \underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{Min}}\,f\left( t \right)=\dfrac{7}{2}\Rightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{Min}}\,y=\dfrac{7}{2} \\ & \underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( t \right)=\dfrac{81}{16}\Rightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{Max}}\,y=\dfrac{81}{16} \\ \end{align} \)

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ