Giải bài 2 trang 90 – SGK môn Giải tích lớp 12
Giải các bất phương trình lôgarit:
a) \({{\log }_{8}}\left( 4-2x \right)\ge 2;\) b) \({{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( 3x-5 \right)>{{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( x+1 \right);\)
c) \({{\log }_{0,2}}x-{{\log }_{5}}\left( x-2 \right)<{{\log }_{0,2}}3;\) d) \(\log _{3}^{2}x-5{{\log }_{3}}x+6\le 0.\)
Hướng dẫn: Với \(a > 1\) thì \(\log_ax > \log_ay \Leftrightarrow x >y\).
Với \(0 < a < 1\) thì \(\log_ax > \log_ay \Leftrightarrow x < y\).
a) \({{\log }_{8}}\left( 4-2x \right)\ge 2;\)
Điều kiện: \(x<2\)
\(\Leftrightarrow 4-2x\ge {{8}^{2}}\Leftrightarrow 4-2x\ge 64\\\Leftrightarrow 2x\le -60\Leftrightarrow x\le -30\)
Vậy \(S=\left( -\infty ;\,-30 \right]\)
b) \({{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( 3x-5 \right)>{{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( x+1 \right);\)
Điều kiện: \(x>\dfrac{5}{3}\)
\(\Leftrightarrow 3x-5< x+1\Leftrightarrow 2x< 6\Leftrightarrow x< 3 \)
So với điều kiện \(\Rightarrow \dfrac{5}{3}< x< 3\)
Vậy \(S=\left( \dfrac{5}{3};\,3 \right)\)
c) \({{\log }_{0,2}}x-{{\log }_{5}}\left( x-2 \right)<{{\log }_{0,2}}3;\)
Điều kiện: \(x>2 \)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{{{5}^{-1}}}}x-{{\log }_{5}}\left( x-2 \right)<{{\log }_{{{5}^{-1}}}}3 \\ \Leftrightarrow -{{\log }_{5}}x-{{\log }_{5}}\left( x-2 \right)<-{{\log }_{5}}3 \\ \Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ x\left( x-2 \right) \right]>{{\log }_{5}}3 \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x>3 \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3>0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x>3 \\ & x<-1 \\ \end{aligned} \right. \)
So với điều kiện \(\Rightarrow x>3\)
Vậy \(S=\left( 3;\,+\infty \right) \)
d) \(\log _{3}^{2}x-5{{\log }_{3}}x+6\le 0.\)
Điều kiện: \(x>0 \)
Đặt \({{\log }_{3}}x=t \) bất phương trình trở thành
\({{t}^{2}}-5t+6\le 0 \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & t\ge 2 \\ & t\le 3 \\ \end{aligned} \right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & {{\log }_{3}}x\ge 2 \\ & {{\log }_{3}}x\le 3 \\ \end{aligned} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x\ge {{3}^{2}}=9 \\ & x\le {{3}^{3}}=27 \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy \(S=\left[ 9;\,27 \right]\)