Giải bài 4.38 trang 208 - SBT Giải tích lớp 12

Tìm số phức z, biết:
\(\begin{align} & a)\overline{z}={{z}^{3}} \\ & b)\left| z \right|+z=3+4i \\ \end{align} \)

Lời giải:

Gọi số phức \(z=a+bi,\,\,\,a,b\in \mathbb{R} \)

\(\begin{aligned} & a)\overline{z}={{z}^{3}} \\ & \Leftrightarrow a-bi={{\left( a+bi \right)}^{3}} \\ & \Leftrightarrow a-bi={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}bi+3a{{b}^{2}}{{i}^{2}}+{{b}^{3}}{{i}^{3}} \\ & \Leftrightarrow a-bi={{a}^{3}}-3a{{b}^{2}}+\left( 3{{a}^{2}}b-{{b}^{3}} \right)i \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a={{a}^{3}}-3a{{b}^{2}} \\ & -b=3{{a}^{2}}b-{{b}^{3}} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & a=0 \\ & -b=-{{b}^{3}} \\ \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} & 1={{a}^{2}}-3{{b}^{2}} \\ & -b=3{{a}^{2}}b-{{b}^{3}} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & a=0 \\ & \left[ \begin{aligned} & b=0 \\ & b=\pm 1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}=1+3{{b}^{2}} \\ & -b=3\left( 1+3{{b}^{2}} \right)b-{{b}^{3}} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & a=0 \\ & \left[ \begin{aligned} & b=0 \\ & b=\pm 1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}=1+3{{b}^{2}} \\ & 8{{b}^{3}}+4b=0 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & a=0 \\ & \left[ \begin{aligned} & b=0 \\ & b=\pm 1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} & a=\pm 1 \\ & b=0 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

Vậy \(z\in \{0;1;-1;i;-i\}\)

\(\begin{aligned} & b)\left| z \right|+z=3+4i \\ & \Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+a+bi=3+4i \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+a=3 \\ & b=4 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \sqrt{{{a}^{2}}+16}=3-a \\ & b=4 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a<3 \\ & {{a}^{2}}+16=9-6a+{{a}^{2}} \\ & b=4 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=-\dfrac{7}{6} \\ & b=4 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

Vậy \(z=-\dfrac 7 6 +4i\)

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài tập ôn tập chương 4

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ