Giải bài 64 trang 57 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

Cho hàm số \(y=\dfrac{ax^2-bx}{x-1}\)

a) Tìm a và b biết rằng đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua điểm \(A\left(-1;\dfrac 5 2\right)\) và tiếp tuyến của (C) tại điểm O(0;0) có hệ số góc bằng \(-3\)

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của a và b đã tìm được

Lời giải:

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y'=\dfrac{\left( 2ax-b \right)\left( x-1 \right)-\left( a{{x}^{2}}-bx \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{a{{x}^{2}}-2ax+b}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\)

Vì đồ thị (C) đi qua điểm A nên ta có:

\(\dfrac{5}{2}=\dfrac{a.1-b\left( -1 \right)}{\left( -1 \right)-1}\Leftrightarrow \dfrac{5}{2}=\dfrac{a+b}{-2}\Leftrightarrow a+b=-5\)

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại \(O(0;0)\) có hệ số góc là \(-3\) nên:

\(y'\left( 0 \right)=-3\Leftrightarrow \dfrac{a.0-2a.0+b}{{{\left( 0-1 \right)}^{2}}}=-3\Leftrightarrow b=-3\)

Từ (1) và (2) ta có: \( \left\{ \begin{align} & a=-2 \\ & b=-3 \\ \end{align} \right.\)

Với \(a =-2, b=-3\) ta có:

\(y=\dfrac{-2{{x}^{2}}+3x}{x-1}=-2x+1+\dfrac{1}{x-1}\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=+\infty ;\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=-\infty \)

\(\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\,y=-\infty ;\lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\,y=+\infty \) nên \(x=1\) là tiệm cận đứng

\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( y+2x-1 \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{1}{x-1}=0\) nên \(y=-2x+1\) là tiệm cận xiên

\(y'=-2-\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{-2{{\left( x-1 \right)}^{2}}-1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0\,\,\,\forall x\,\in \mathbb{R}\)

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( -1;+\infty \right)\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị

Hàm số đi qua điểm \((0;0)\) và \((2;-2)\)

Đồ thị nhận điểm \( I(1;-1)\) là tâm đối xứng

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 8: Một số bài toán thường gặp vẽ đồ thị

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ