Giải bài tập trắc nghiệm 3.53 – 3.57 trang 183 - SBT Đại số và Giải tích lớp 12
3.53. \(\int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{1-x}}dx}\) bằng:
A. \(1-e\)
B. \(e-2\)
C. 1
D. -1
3.54. Nhờ ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. \(\int\limits_{0}^{1}{\ln \left( 1+x \right)dx}>\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{x-1}{e-1}dx}\)
B. \(\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{{{\sin }^{2}}xdx}<\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\sin 2xdx}\)
C. \(\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}dx}>\int\limits_{0}^{1}{{{\left( \dfrac{1-x}{1+x} \right)}^{2}}dx}\)
D. \(\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-{{x}^{2}}}}dx}>\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-{{x}^{3}}}}dx}\)
3.55. Thể tích khối tròn xoay tạo nên do quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y={{\left( 1-x \right)}^{2}},y=0,x=0\) và \(x=2\) bằng:
A. \(\dfrac{8\pi \sqrt{2}}{3}\)
B. \(\dfrac{2\pi }{5}\)
C. \(\dfrac{5\pi }{2}\)
D. \(2\pi \)
3.56. \(\int\limits_{-\dfrac{1}{2}}^{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{x\left( 1+{{x}^{2}}+{{x}^{4}} \right)}{1+{{x}^{2}}}dx}\) bằng:
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2
3.57. Khẳng định nào sau đây sai?
A.\(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\dfrac{\sin x}{x}dx}<\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\dfrac{\cos x}{x}dx}\)
B. \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{1}{\dfrac{\tan x}{x}dx}>\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{1}{\dfrac{\cot x}{x}dx}$\)
C. \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\sin }^{4}}xdx}<\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{dx}\)
3.53. Đáp án B
Đáp án A và D sai vì \(\int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{1-x}}dx} \ge 0\)
Nhờ tính tích phân từng phần, ta được B đúng và C sai.
Đặt \(u=x, dv=e^{1-x}dx\). Suy ra \(du=dx; v=-e^{1-x}\)
Ta có: \(\int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{1-x}}dx}=-x{{e}^{1-x}}\left| \begin{aligned} & 1 \\ & 0 \\ \end{aligned} \right.+\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{1-x}}dx}=-1-{{e}^{1-x}}\left| \begin{aligned} & 1 \\ & 0 \\ \end{aligned} \right.=e-2 \)
3.54. Đáp án D
3.55. Đáp án B
Vì \(V=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{\left( 1-x \right)}^{4}}dx}=\dfrac{\pi }{5}{{\left( x-1 \right)}^{5}}\left| \begin{align} & 2 \\ & 0 \\ \end{align} \right.=\dfrac{2\pi }{5} \)
3.56. Đáp án A
Vì \(\dfrac{x(1+x^2+x^4)}{1+x^2}\) là hàm số lẻ trên \(\left[-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right]\) nên B, C, D sai.
3.57. Đáp án A
Vì trên \(\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]\), ta có \(\sin x >0, \cos x <0\)