Mặt cầu - Hình học toán lớp 12
1. Mặt cầu và các khái niệm liên quan đến mặt cầu
1.1. Mặt cầu
Tập hợp các điểm \(M\) trong không gian cách điểm \(O\) cố định một khoảng không đổi bằng \(r(r>0)\) được gọi là mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(r\).
1.2. Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu
Cho mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(r\) và \(A\) là một điểm bất kì trong không gian.
- Nếu \(OA=r\) thì ta nói điểm nằm trên mặt cầu \(S(O;r)\)
- Nếu \(OA< r\) thì ta nói điểm nằm trong mặt cầu \(S(O;r)\)
- Nếu \(OA> r\) thì ta nói điểm nằm ngoài mặt cầu \(S(O;r)\)
+) Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu \(S(O;r)\) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm \(O\) bán kính \(r\).
1.3. Biểu diễn mặt cầu
Người ta thường dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng để biểu diễn mặt cầu. Khi đó hình biểu diễn của mặt cầu là một hình tròn.
1.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu
2. Giao của mặt cầu với mặt phẳng
Cho mặt cầu \(S(O;r)\) và mặt phẳng \((P)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên mặt phẳng \((P)\). Khi đó \(h=OH\) là khoảng cách từ \(O\) tới mặt phẳng \((P)\)
+) \(h>r\) : mặt phẳng \((P)\) không có điểm chung với mặt cầu
+) \(h=r\) : mặt phẳng \((P)\) tiếp xúc với mặt cầu tại \(H\)
Ta có : Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng \((P)\) tiếp xúc với mặt cầu \(S(O;r)\) tại điểm \(H\) là \((P)\) vuông góc với bán kính \(OH\) tại điểm \(H\) đó.
+) \(h< r\) : mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn tâm \(H\), bán kính \(r'=\sqrt{r^2-h^2}\)
3. Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu
Cho mặt cầu \(S(O;r)\) và đường thẳng \(\triangle\)
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của tâm \(O\) trên \(\triangle\) và \(d=OH\) là khoảng cách từ \(O\) tới \(\triangle\).
+) \(d>r\) : \(\triangle\) không cắt mặt cầu
+) \(d=r\) : điểm \(H\) thuộc mặt cầu
Ta có : Điều kiện cần và đủ để đường thẳng \(\triangle\) tiếp xúc với mặt cầu \(S(O;r)\) tại điểm \(H\) là \(\triangle\)vuông góc với bán kính \(OH\) tại điểm \(H\) đó.
+) \(d< r\): \(\triangle\) cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt
4. Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
Mặt cầu bán kính \(r\) có diện tích là : \(S=4\pi r^2\)
Khối cầu bán kính \(r\) có thể tích là : \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\)
Mục lục Lớp 12 theo chương
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Bài tập Giải tích 12
Chương 1: Este - Lipit - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Giải tích 12
Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị - Phần 5: Di truyền học
Địa Lý Việt Nam - Giải bài tập SGK Địa lý 12
Chương 1: Este - Lipit - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 1: Dao động cơ - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Giải tích 12 (Nâng cao)
Chương 1: Khối đa diện - Hình học 12
Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá - Phần 6: Tiến hoá
Chương 1: Động lực học vật rắn - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật - Phần 7: Sinh thái học
Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit - Bài tập Giải tích 12
Chương 2: Cacbohiđrat - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải tích 12
Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
Địa Lý Tự Nhiên - Giải bài tập SGK Địa lý 12
Chương 2: Cacbohiđrat - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 2: Sóng cơ và sóng âm - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền - Phần 5: Di truyền học
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải tích 12 (Nâng cao)
Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu - Hình học 12
Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất - Phần 6: Tiến hoá
Chương 2: Quần xã sinh vật - Phần 7: Sinh thái học
Chương 2: Dao động cơ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Bài tập Giải tích 12
Chương 3: Amin, Amino axit và protein - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Giải tích 12
Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
Địa Lý Dân Cư - Giải bài tập SGK Địa lý 12
Chương 3: Amin, Amino axit và protein - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 3: Dòng điện xoay chiều - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 3: Di truyền học quần thể - Phần 5: Di truyền học
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Giải tích 12 (Nâng cao)
Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian - Hình học 12
Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường - Phần 7: Sinh thái học
Chương 3: Sóng cơ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 4: Số phức - Bài tập Giải tích 12
Chương 4: Polime và vật liệu polime - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 4: Số phức - Giải tích 12
Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
Địa Lý Kinh Tế - Giải bài tập SGK Địa lý 12
Chương 4: Polime và vật liệu polime - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 4: Dao động và sóng điện từ - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 4: Ứng dụng di truyền học - Phần 5: Di truyền học
Chương 4: Số phức - Giải tích 12 (Nâng cao)
Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
Chương 4: Dao động và sóng điện từ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
Chương 5: Dòng điện xoay chiều - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 5: Đại cương về kim loại - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
Địa Lý Địa Phương - Giải bài tập SGK Địa lý 12
Chương 5: Đại cương về kim loại - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 5: Sóng ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 5: Di truyền học người - Phần 5: Di truyền học
Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
Chương 6: Sóng ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 6: Lượng tử ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 7: Lượng tử ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 7: Crom - Sắt - Đồng - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 7: Hạt nhân nguyên tử - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 9: Hạt nhân nguyên tử - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
+ Mở rộng xem đầy đủ