Giải bài 42 trang 73 - SGK Toán lớp 7 Tập 2
Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.
Gợi ý: Trong \(ΔABC,\) nếu \(AD\) là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì kéo dài \(AD\) một đoạn \(DA,\) sao cho \(DA_1 = AD.\)
Hướng dẫn:
Bước 1: Chứng minh \(AC = BA_1\)
Bước 2: Chưng minh \(AB = BA_1\)
Bước 3: Từ bước 1 và bước 2 suy ra \(AB = AC.\) Chứng minh \(ΔABC\) cân tại \(A\)
Bài giải
Kéo dài trung tuyến \(AD\) một đoạn \(DA_1\) sao cho \(AD = DA_1\)
Xét \(ΔADC\) và \(ΔADB\) có:
\(BD = DC\) (\(AD\) là trung tuyến)
\(\widehat{D_1} = \widehat{D_2}\) (đối đỉnh)
\(AD = DA_1\) ( do cách vẽ)
\(\Rightarrow ΔADC = ΔA_1DB\) (cạnh - góc - cạnh)
Suy ra \(BA_1 = AC\) (cặp cạnh tương ứng) \( (1)\)
\( \widehat{A_1} = \widehat{DAC}\) (cặp góc tương ứng)
Mà \(\widehat{BAD} = \widehat{DAC}\) (\(AD\) là đường phân giác)
\( \Rightarrow \widehat{BAD} = \widehat{A_1}\)
Xét \(ΔABA_1,\) ta có:
\(\widehat{BAD} = \widehat{A_1}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ΔABA_1\) cân tại \(B\) (định nghĩa tam giác cân)
\( \Rightarrow AB = BA_1\) (tính chất tam giác cân) \((2)\)
Từ (1) và (2) ta được: \(AB = AC\)
Vậy \(ΔABC\) cân tại \(A\) (đpcm)