Giải bài 70 trang 141 - SGK Toán lớp 7 Tập 1
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Trên tia đối của tia \(BC\) lấy điểm \(M,\) trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(BM = CN.\)
a) Chứng minh rằng tam giác \(AMN\) là tam giác cân
b) Kẻ \(BH ⊥ AM,\) kẻ \(CK ⊥ AN.\) Chứng minh rằng \(BH = CK\)
c) Chứng minh rằng \(AH = AK\)
d) Gọi \(O\) là giao điểm của \(HB\) và \(KC.\) Tam giác \(OBC\) là tam giác gì ? Vì sao
e) Khi \(\widehat{BAC} = 60^o\) và \(BM = CN = BC\) hãy tính số đo các góc của tam giác \(AMN\) và xác định dạng của tam giác \(OBC.\)
Lời giải:
Hướng dẫn:c) Tính số đo các góc của tam giác \(OBC\) rồi xác định dạng của tam giác \(OBC\)
Bài giải:
a) \(ΔABC\) cân tại \(A\) (giả thiết)
\(\Rightarrow AB = AC\) và \(\widehat{B_1} = \widehat{C_1}\)
Mà
\(\widehat{B_1} + \widehat{ABM} =180^o\) (hai góc kề bù)
Suy ra
\(\begin{align*} \widehat{ABM} &= 180^o - \widehat{B_1} \\&= 180^o - \widehat{C_1}\\&= \widehat{ACN}\end{align*}\)
Xét \(ΔBAM\) và \(ΔCNA\) có:
\(BA = CA\) (giả thiết)
\( \widehat{ABM} = \widehat{ACN} \) (chứng minh trên)
\(BM = CN\) (giả thiết)
\(\Rightarrow ΔBAM = ΔCAN\) (c.g.c)
\( \Rightarrow AM = AN\) (cặp cạnh tương ứng)
\( ΔAMN\) có: \(AM = AN\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ΔAMN\) cân tại \(A\) (tính chất tam giác cân)
b) \(ΔAMN\) cân tại \(A\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \widehat{M} = \widehat{N}\) (định nghĩa tam giác cân)
Xét hai tam giác vuông \(HMB\) và \(KNC\) có:
\(BM = CN\) (giả thiết)
\( \widehat{M} = \widehat{N}\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow ΔHMB = ΔKNC\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow BH = CK; BH = CK\) (cặp cạnh tương ứng)
c) Ta có: \(AH = AM - HM\)
\(AK = AN - KN\)
Mà \(AM = AN\) (chứng minh trên)
\( BH = CK\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow AB = AC\) và \(\widehat{B_1} = \widehat{C_1}\)
Mà
\(\widehat{B_1} + \widehat{ABM} =180^o\) (hai góc kề bù)
Suy ra
\(\begin{align*} \widehat{ABM} &= 180^o - \widehat{B_1} \\&= 180^o - \widehat{C_1}\\&= \widehat{ACN}\end{align*}\)
Xét \(ΔBAM\) và \(ΔCNA\) có:
\(BA = CA\) (giả thiết)
\( \widehat{ABM} = \widehat{ACN} \) (chứng minh trên)
\(BM = CN\) (giả thiết)
\(\Rightarrow ΔBAM = ΔCAN\) (c.g.c)
\( \Rightarrow AM = AN\) (cặp cạnh tương ứng)
\( ΔAMN\) có: \(AM = AN\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ΔAMN\) cân tại \(A\) (tính chất tam giác cân)
b) \(ΔAMN\) cân tại \(A\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \widehat{M} = \widehat{N}\) (định nghĩa tam giác cân)
Xét hai tam giác vuông \(HMB\) và \(KNC\) có:
\(BM = CN\) (giả thiết)
\( \widehat{M} = \widehat{N}\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow ΔHMB = ΔKNC\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow BH = CK; BH = CK\) (cặp cạnh tương ứng)
c) Ta có: \(AH = AM - HM\)
\(AK = AN - KN\)
Mà \(AM = AN\) (chứng minh trên)
\( BH = CK\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow AH = AK\) (đpcm)
d) \(ΔHMB = ΔKNC\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \widehat{HBM} = \widehat{KCN}\) (cặp góc tương ứng)
Lại có: \( \widehat{HBM} = \widehat{CBO}\) (đối đỉnh)
\( \widehat{KCN} = \widehat{BCO}\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \widehat{CBO} = \widehat{BCO} \)
Xét \(ΔOBC,\) ta có: \(\widehat{CBO} = \widehat{BCO} \) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ΔOBC\) cân tại \(O\)
e) Khi \(\widehat{BAC} = 60^o \Rightarrow \widehat{B_1} = \widehat{C_1} = 60^o\)
\(\Rightarrow ΔABC\) đều
\(\Rightarrow AB = AB = BC\) (tính chất)
Lại có: \(BM = CN = BC\) (giả thiết)
\(\Rightarrow AB = BM\)
\(\Rightarrow ΔABM\) cân tại \(B.\)
\( \Rightarrow \widehat{M} = \widehat{BAM}\) (định nghĩa)
Lại có: \( \widehat{M} + \widehat{BAM} = \widehat{B_1} = 60^o\) (tính chất góc ngoài tam giác)
\( \Rightarrow \widehat{M} = \widehat{BAM} = \dfrac{1}{2}.60^o = 30^o\)
Tương tự, ta có: \(\widehat{N} = 30^o\)
\( \Rightarrow \widehat{HBM} = \widehat{KCN} = 60^o\)
d) \(ΔHMB = ΔKNC\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \widehat{HBM} = \widehat{KCN}\) (cặp góc tương ứng)
Lại có: \( \widehat{HBM} = \widehat{CBO}\) (đối đỉnh)
\( \widehat{KCN} = \widehat{BCO}\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \widehat{CBO} = \widehat{BCO} \)
Xét \(ΔOBC,\) ta có: \(\widehat{CBO} = \widehat{BCO} \) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ΔOBC\) cân tại \(O\)
e) Khi \(\widehat{BAC} = 60^o \Rightarrow \widehat{B_1} = \widehat{C_1} = 60^o\)
\(\Rightarrow ΔABC\) đều
\(\Rightarrow AB = AB = BC\) (tính chất)
Lại có: \(BM = CN = BC\) (giả thiết)
\(\Rightarrow AB = BM\)
\(\Rightarrow ΔABM\) cân tại \(B.\)
\( \Rightarrow \widehat{M} = \widehat{BAM}\) (định nghĩa)
Lại có: \( \widehat{M} + \widehat{BAM} = \widehat{B_1} = 60^o\) (tính chất góc ngoài tam giác)
\( \Rightarrow \widehat{M} = \widehat{BAM} = \dfrac{1}{2}.60^o = 30^o\)
Tương tự, ta có: \(\widehat{N} = 30^o\)
\( \Rightarrow \widehat{HBM} = \widehat{KCN} = 60^o\)
\( \Rightarrow \widehat{OBC} = \widehat{BOC} = 60^o\)
\( \Rightarrow ΔOBC\) đều
\( \Rightarrow ΔOBC\) đều
Xem video bài giảng và làm thêm bài luyện tập về bài học này ở đây để học tốt hơn.
Tham khảo lời giải các bài tập Ôn tập chương 2 khác
Giải bài 67 trang 140 - SGK Toán lớp 7 Tập 1 Điền dấu " x " vào...
Giải bài 68 trang 141 - SGK Toán lớp 7 Tập 1 Các tính chất, sau đây...
Giải bài 69 trang 141 - SGK Toán lớp 7 Tập 1 Cho điểm \(A\) nằm...
Giải bài 70 trang 141 - SGK Toán lớp 7 Tập 1 Cho tam giác \(ABC\)...
Giải bài 71 trang 141 - SGK Toán lớp 7 Tập 1 Tam giác \(ABC\) trên...
Giải bài 72 trang 141 - SGK Toán lớp 7 Tập 1 Đố vui: Dũng đố...
Giải bài 73 trang 141 - SGK Toán lớp 7 Tập 1 Đố. Trên hình 152, một...
Mục lục Lớp 7 theo chương
Chương 1: Môi trường đới nóng, hoạt động kinh tế của con người trong đới nóng - Phần 2: Các môi trường địa lý
Chương 1: Số hữu tỉ. Số thực - Đại số 7
Chương 1: Quang học - Giải bài tập SGK Vật lý 7
Chương 1: Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song - Hình học 7
Chương 1: Số hữu tỉ. Số thực - Phần đại số
Chương 1: Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song - Phần hình học
Chương 2: Môi trường đới ôn hòa. Hoạt động kinh tế của con người ở đới ôn hòa - Phần 2: Các môi trường địa lý
Chương 2: Âm học - Giải bài tập SGK Vật lý 7
Chương 2: Hàm số và đồ thị - Đại số 7
Chương 2: Tam giác - Hình học 7
Chương 6: Châu Phi - Phần 3: Thiên nhiên và con người ở các châu lục
Chương 1: Buổi đầu độc lập thời Ngô - Đinh - Tiền Lê (thế kỉ X) - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ thế kỉ X đến giữa thế kỉ XIX
Chương 2: Hàm số và đồ thị - Phần đại số
Chương 2: Tam giác - Phần hình học
Chương 3: Môi trường hoang mạc. Hoạt động kinh tế của con người ở hoang mạc - Phần 2: Các môi trường địa lý
Chương 3: Điện học - Giải bài tập SGK Vật lý 7
Chương 3: Thống kê - Đại số 7
Chương 3: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Các đường đồng quy trong tam giác - Hình học 7
Chương 7: Châu Mĩ - Phần 3: Thiên nhiên và con người ở các châu lục
Chương 1: Ngành động vật nguyên sinh - Giải bài tập SGK Sinh học 7
Chương 2: Ngành ruột khoang - Giải bài tập SGK Sinh học 7
Chương 3: Thống kê - Phần đại số
Chương 3: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Các đường thẳng đồng quy trong tam giác - Phần hình học
Chương 4: Môi trường đới lạnh. Hoạt động kinh tế của con người ở đới lạnh - Phần 2: Các môi trường địa lý
Chương 4: Biểu thức đại số - Đại số 7
Chương 8: Châu Nam Cực - Phần 3: Thiên nhiên và con người ở các châu lục
Chương 4: Biểu thức đại số - Phần đại số
Chương 5: Môi trường vùng núi. Hoạt động kinh tế của con người vùng núi - Phần 2: Các môi trường địa lý
Chương 9: Châu Đại Dương - Phần 3: Thiên nhiên và con người ở các châu lục
Chương 3: Các ngành Giun - Giải bài tập SGK Sinh học 7
Chương 4: Ngành thân mềm - Giải bài tập SGK Sinh học 7
Chương 10: Châu Âu - Phần 3: Thiên nhiên và con người ở các châu lục
Chương 5: Ngành chân khớp - Giải bài tập SGK Sinh học 7
Chương 2: Nước Đại Việt thời Lý (thế kỉ XI - XII) - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ thế kỉ X đến giữa thế kỉ XIX
Chương 6: Ngành động vật có xương sống - Giải bài tập SGK Sinh học 7
Chương 7: Sự tiến hóa của động vật - Giải bài tập SGK Sinh học 7
Chương 8: Động vật và đời sống con người - Giải bài tập SGK Sinh học 7
Chương 3: Nước Đại Việt thời Trần (thế kỉ XIII - XIV) - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ thế kỉ X đến giữa thế kỉ XIX
Chương 4: Đại Việt thời Lê sơ (Thế kỉ XV - đầu thế kỉ XVI) - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ thế kỉ X đến giữa thế kỉ XIX
Chương 5: Đại Việt ở các thế kỉ XVI - XVIII - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ thế kỉ X đến giữa thế kỉ XIX
Chương 6: Việt Nam nửa đầu thế kỉ XIX - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ thế kỉ X đến giữa thế kỉ XIX
+ Mở rộng xem đầy đủ