Giải bài 21 trang 68 – SGK Toán lớp 8 tập 2
a) Cho tam giác \(ABC\) với đường trung tuyến \(AM\) và đường phân giác trong \(AD.\) Tính diện tích tam giác \(ADM,\) biết \(AB = m, \,AC = n \,(n > m)\) và diện tích tam giác \(ABC\) là \(S.\)
b) Khi cho \(n = 7cm,\, m = 3cm,\) hỏi rằng diện tích tam giác \(ADM\) chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác \(ABC \,?\)
Gợi ý:
a) \(S_{\triangle{ADM}} = S_{\triangle{ABM}} - S_{\triangle{ABD}} \)
Hướng dẫn: Các tam giác đều có chung đường cao hạ từ A xuống cạnh BC.
Để tính diện tích tam giác ADM ta tính diện tích tam giác ABM và tam giác ABD theo diện tích tam giác ABC.
Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác để suy ra độ dài BM và BD theo BC.
Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) đến \(BC\)
Ta có: \(BM = \dfrac{1}{2}BC\) (giả thiết) \((1)\)
\(AD\) là đường phân giác của \( \widehat{BAC}\) (giả thiết)
\(\Rightarrow \dfrac{DB}{AB} = \dfrac{DC}{AC}\) (tính chất đường phân giác)
\(\Leftrightarrow DB = \dfrac{AB}{AC}.DC = \dfrac{m}{n}.DC\)
Vì \(n > m\) nên \(\dfrac{m}{n} < 1 \Rightarrow DB < DC \,\,\,\, (2)\)
Từ \((1)\) và \((2) \Rightarrow D\) nằm giữa \(B\) và \(M\)
Lại có:
\(S_{\triangle{ABM}} = \dfrac{1}{2}AH.BM = \dfrac{1}{2}AH.\dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{4}AH.BC = \dfrac{1}{2} S_{\triangle{ABC}} = \dfrac{1}{2} .S \,\,\,\, (3)\\ S_{\triangle{ABD}} = \dfrac{1}{2}AH.\dfrac{m}{n}.DC = \dfrac{m}{n}.\dfrac{1}{2}AH.DC = \dfrac{m}{n} .S_{\triangle{ADC}} \\ \Leftrightarrow S_{\triangle{ABD}} = \dfrac{m}{n}. (S_{\triangle{ABC}} - S_{\triangle{ABD}}) \\ \Leftrightarrow S_{\triangle{ABD}} = \dfrac{m}{n} .S_{\triangle{ABC}} - \dfrac{m}{n} .S_{\triangle{ABD}} \\ \Leftrightarrow S_{\triangle{ABD}} + \dfrac{m}{n} .S_{\triangle{ABD}} = \dfrac{m}{n} .S_{\triangle{ABC}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{m + n}{n} .S_{\triangle{ABD}} = \dfrac{m}{n} .S_{\triangle{ABC}} \\ \Leftrightarrow S_{\triangle{ABD}} =\dfrac{n}{m + n}. \dfrac{m}{n} .S_{\triangle{ABC}} \\ \Leftrightarrow S_{\triangle{ABD}} =\dfrac{m}{m + n} .S_{\triangle{ABC}} = \dfrac{m}{m + n} .S \,\,\,\, (4)\)
Từ \((3)\) và \((4) \Rightarrow S_{\triangle{ADM}} = S_{\triangle{ABM}} - S_{\triangle{ABD}} = \dfrac{1}{2} S - \dfrac{m}{m + n} .S = \dfrac{n - m}{2(m + n)} .S\)
b) Khi \(n = 7cm, \, m = 3cm,\) ta có:
\(S_{\triangle{ADM}} = \dfrac{7 - 3}{2(3 + 7)} .S = \dfrac{S}{5} = \dfrac{S.100 \%}{5} = 20 \%S\)
Vậy diện tích \(\triangle{ADM}\) bằng \(20 \%\) diện tích \(\triangle{ABC}.\)