Giải bài 37 trang 79 – SGK Toán lớp 8 tập 2
Hình 44 cho biết \(\widehat{EBA} = \widehat{BDC} \)
a) Trong hình vẽ có bao nhiêu tam giác vuông? Hãy kể tên các tam giác đó.
b) Cho biết \(AE = 10cm,\, AB = 15cm,\, BC = 12cm.\) Hãy tính độ dài các đoạn thẳng \(CD,\, BE,\, BD\) và \(ED\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
c) So sánh diện tích tam giác \(BDE\) với tổng diện tích của hai tam giác \(AEB\) và \(BCD.\)
Hình 44
Hướng dẫn:
Sử dụng định lý Pi -ta -go để tính độ dài các đoạn thẳng và cạnh tương ứng tỉ lệ của hai tam giác đồng dạng để tính độ dài các đoạn thẳng.
a)
\(\text{Xét} \, ΔABE \, \text{và} \, ΔCDB \, \text{có:} \\ \widehat{ABE} = \widehat{CDB} \,\, \text{(giả thiết)} \\ \widehat{A} = \widehat{C} = 90^o \\ \Rightarrow ΔABE \backsim ΔCDB \,\, \text{(g.g)} \\ \Rightarrow \widehat{AEB} = \widehat{CBD} \,\, \text{(cặp góc tương ứng)} \\ \text{Mà} \, \widehat{AEB} + \widehat{EBA} = 90^o \, \text{hay} \, \widehat{EBA} + \widehat{CBD} = 90^o \\ \Rightarrow \widehat{EBD} = 90^o\)
Vậy trong hình trên có ba tam giác vuông đó là \( \, ΔABE, \, ΔCDB, \, ΔBDE. \\\)
b)
\(\text{Vì} ΔABE \backsim ΔCDB \,\, \text{(chứng minh trên)} \\ \Rightarrow \dfrac{AE}{BC} = \dfrac{AB}{CD} \,\, \text{(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)} \\ \Rightarrow CD = \dfrac{AB.BC}{AE} = \dfrac{15.12}{10} = 18cm \\ \text{ Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông} \, AEB, \,\text{ ta có:} \\ BE^2 = AB^2 + AE^2 = 15^2 + 10^2 = 325 \Rightarrow BE = \sqrt{325} \approx 18,02 \,(cm) \\ \text{ Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông} \, CBD,\,\text{ ta có:} \\ BD^2 = CB^2 + CD^2 = 12^2 + 18^2 = 468 \Rightarrow BD = \sqrt{468} \approx 21,6 \,(cm) \\ \text{ Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông} \, DEB, \,\text{ ta có:} \\ ED^2 = BE^2 + BD^2 = AE^2 + AB^2 + BC^2 + CD^2 = 10^2 = 793 \\ \Rightarrow ED = \sqrt{793} \approx 28,2 \,(cm) \)
c)
\(\text{ Ta có:} \, S_{ΔBDE} = \dfrac{1}{2}BD.BE= \dfrac{1}{2} \sqrt{(BC^2 + CD^2)(AE^2 + AB^2)} = \dfrac{1}{2} \sqrt{(12^2 + 18^2)(10^2 + 15^2)} = 195 \, (cm^2) \\ S_{ΔABE} + S_{ΔBCD} = \dfrac{1}{2} (AE.AB + BC.CD) = \dfrac{1}{2} (10.15 + 12.18) = 183 \, (cm^2) \\ \text{ Lại có:} \, 183cm^2 < 195cm^2 \\ \Rightarrow \text{ Diện tích tam giác} \, BDE \,\text{ lớn hơn tổng diện tích của hai tam giác} \, ABE\,\text{ và} \, BCD.\)