Giải bài 39 trang 79 – SGK Toán lớp 8 tập 2
Cho hình thang \(ABCD \, (AB // CD).\) Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD.\)
a) Chứng minh rằng \(OA.OD = OB.OC\)
b) Đường thẳng qua \(O\) vuông góc với \(AB\) và \(CD\) theo thứ tựu tại \(H\) và \(K.\) Chứng minh rằng \(\dfrac{OH}{OK} = \dfrac{AB}{CD}\)
Gợi ý:
a) Chứng minh \( \dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}\) bằng cách chỉ ra tam giác OAB đồng dạng với tam giác OCD.
b) Chứng minh \( ΔOAH \backsim ΔOCK\)
a) \(ABCD\) là hình bình hành (giả thiết)
\( \Rightarrow AB // CD\) (tính chất)
\( \Rightarrow \widehat{BAO} = \widehat{OCD} ; \, \widehat{ABO} = \widehat{ODC}\) (cặp góc so le trong)
\( \Rightarrow ΔOAB \backsim ΔOCD\) (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow OA.OD = OB.OC\) (đpcm)
b) Xét \(ΔOAH\) và \(ΔOCK\) có:
\( \widehat{BAO} = \widehat{OCD}\) (chứng minh trên)
\( \widehat{AHO} = \widehat{CKO}= 90^o\)
\( \Rightarrow ΔOAH \backsim ΔOCK\) (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{OH}{OK} = \dfrac{OA}{OC}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) \((1)\)
Lại có: \(ΔOAB \backsim ΔOCD\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow \dfrac{OA}{OC} = \dfrac{AB}{CD}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2) \Rightarrow \dfrac{OH}{OK} =\dfrac{AB}{CD}\) (đpcm)