Giải bài 44 trang 20 – SGK Toán lớp 8 tập 1
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) \(x^3 + \dfrac{1}{27}\)
b) \((a + b)^3 - (a - b)^3\)
c) \((a + b)^3 + (a - b)^3\)
d) \(8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3\)
e) \(-x^3 + 9x^2 -27x + 27\)
Hướng dẫn: Sử dụng các hằng đẳng thức sau:
\(+ \,\,\,\, (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\\ +\,\,\,\, (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\\ + \,\,\,\, a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\\ + \,\,\,\, a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)
Bài giải
a) \(x^3 + \dfrac{1}{27}\)
\(= x^3 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^3\)
\(= \left(x - \dfrac{1}{3}\right) \left[x^2 + x.\dfrac{1}{3} +\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \right]\)
\(= \left(x - \dfrac{1}{3}\right)\left(x^2 + \dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{9} \right)\)
b) \((a + b)^3 - (a - b)^3\)
\(= [(a + b) - (a - b)][(a + b)^2 + (a + b).(a - b) + (a - b)^2]\)
\(= (a + b - a + b)(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - b^2+ a^2 - 2ab + b^2)\)
\(= 2b.(3a^2+ b^2)\)
c) \((a + b)^3 + (a - b)^3\)
\(= [(a + b) + (a - b)][(a + b)^2 - (a + b)(a -b) + (a - b)^2]\)
\(= (a + b - a + b)(a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + b^2 + a^2 - 2ab + b^2)\)
\(= 2a.(a^2 + 3b^2)\)
d) \(8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3\)
\(= (2x)^3 + 3.(2x)^2.y + 3.2x.y^2 + y^3\)
\(= (2x + y)^3\)
e) \(-x^3 + 9x^2 -27x + 27\)
\(= 27 - 27x + 9x^2 - x^3\)
\(= 3^3 - 3.3^2.x + 3.3.x^2 - x^3\)
\(= (3 - x)^3\)