Giải bài 45 trang 92 – SGK Toán lớp 8 tập 1
Cho hình bình hành \(ABCD \,\,(AB > BC).\) Tia phân giác của góc \(D\) cắt \(AB\) ở \(E,\) tia phân giác của góc \(B\) cắt \(CD\) ở \(F.\)
a) Chứng minh rằng \(DE // BF\)
b) Tứ giác \(DEBF\) là hình gì? Vì sao?
Hướng dẫn:
a) Chứng minh cặp góc đồng vị trong bằng nhau
b) Sử dụng dấu hiệu nhận biết thứ nhất.
a) Ta có: \(ABCD\) là hình bình hành (giả thiết)
\(\Rightarrow AB // CD\) (tính chất)
\(\Rightarrow \widehat{F_1} = \widehat{B_1}\) (cặp góc so le trong) \(\,\,\,\,(1)\)
Lại có: \(DE\) là tia phân giác \(\widehat{D}\) (giả thiết)
\(\Rightarrow \widehat{D_2} = \dfrac{\widehat{D}}{2} \,\,\,\,(2)\)
Tương tự ta có: \(BF\) là tia phân giác \(\widehat{B}\) (giả thiết)
\(\Rightarrow \widehat{B_1} = \widehat{B_2} = \dfrac{\widehat{B}}{2} \,\,\,\,(3)\)
Mà \(\widehat{B} = \widehat{D}\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành) \(\,\,\,\,(4)\)
Từ \((1),\,(2),\,(3),\,(4) \Rightarrow \widehat{D_2} = \widehat{F_1}\)
Mà \(\widehat{D_2}\) và \( \widehat{F_1}\) ở vị trí đồng vị
\(\Rightarrow DE // BF\) (đpcm)
b) Xét tứ giác \(DEBF,\) ta có:
\(DE // BF\) (chứng minh trên)
\(EB // DF\) (vì \(E \in AB,\, F \in CD\))
\(\Rightarrow\) Tứ giác \(DEBF\) là hình bình hành
Ghi nhớ: Các dấu hiệu nhận biết hình bình hành:
1. Tứ giac có các cạnh đối song song là hình bình hành.
2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
3. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
4. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.