Giải bài 27 trang 88 – SGK Toán lớp 9 tập 1

a) Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ABC, ta được:
\(c=b.\operatorname{tg}\,C=10.\operatorname{tg}\,{{30}^{o}}=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}\,\left( cm \right)\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC, ta có:
\(\begin{align} & {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{10}^{2}}+{{\left( \dfrac{10\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{400}{3} \\ & \Rightarrow a=\dfrac{20}{\sqrt{3}}\,\left( cm \right) \\ \end{align}\)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên
\(\widehat{B}+\widehat{C}={{90}^{o}}\Rightarrow \widehat{B}={{90}^{o}}-\widehat{C}={{90}^{o}}-{{30}^{o}}={{60}^{o}}\)

Vậy tam giác ABC vuông tại A có \(AC=10cm,\,AB=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}\,cm,\,BC=\dfrac{20}{\sqrt{3}}cm,\,\widehat{B}={{60}^{o}},\widehat{C}={{30}^{o}}\).

b) Tương tự, ta có:
\(\widehat{B}={{90}^{o}}-\widehat{C}={{90}^{o}}-{{45}^{o}}={{45}^{o}}\)

Suy ra tam giác ABC vuông cân.

Suy ra \(b=c=10cm\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC, ta có: 
\(\begin{align} & {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{10}^{2}}+{{10}^{2}}=200 \\ & \Rightarrow a=10\sqrt{2}\,\left( cm \right) \\ \end{align}\)

Vậy tam giác ABC vuông tại A có \(AB=AC=10cm,\,\,BC=10\sqrt{2}cm,\,\widehat{B}=\widehat{C}={{45}^{o}}\).

c) Ta có:
\(\widehat{C}={{90}^{o}}-\widehat{B}={{90}^{o}}-{{35}^{o}}={{55}^{o}}\)

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ABC, ta được:
\(\left\{ \begin{align} & c=a.\sin \,C=20.\sin {{55}^{o}}\approx 16,38\,\left( cm \right) \\ & b=a.\cos \,C=20.\cos {{55}^{o}}\approx 11,47\,\left( cm \right) \\ \end{align} \right.\)

Vậy tam giác ABC vuông tại A có \(AB\approx 16,38cm;AC\approx 11,47cm,\,\,BC=20cm,\,\widehat{B}={{35}^{o}};\widehat{C}={{55}^{o}}\).

d) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC, ta có:
\(\begin{align} & {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{21}^{2}}+{{18}^{2}}=765 \\ & \Rightarrow a=3\sqrt{85}\,\left( cm \right) \\ \end{align}\)

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
\(\left\{ \begin{align} & \sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{18}{3\sqrt{85}}=\dfrac{6}{\sqrt{85}} \\ & \sin C=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{21}{3\sqrt{85}}=\dfrac{7}{\sqrt{85}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & \widehat{B}\approx {{40}^{o}}36' \\ & \widehat{C}={{49}^{o}}24' \\ \end{aligned} \right.\)

Vậy tam giác ABC vuông tại A có \(AC=18cm,\,AB=21cm,\,BC=3\sqrt{85}cm,\,\widehat{B}\approx {{40}^{o}}36';\widehat{C}={{49}^{o}}24'\).

Ghi nhớ:

Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ABC, ta được:
\(c=b.\operatorname{tg}\,C\)