Giải bài 63 trang 92 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Vẽ hình lục giác đều, hình vuông, tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O; R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R.
Vẽ đường tròn (O;R).
+) Vì lục giác đều nội tiếp đường tròn (O;R) nên 6 đỉnh của lục giác đều chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau có số đo là \(60^o\)
- Lấy một điểm A bất kì thuộc đường tròn (O). Dựng góc \(\widehat{AOB}=60^o\) ( B thuộc đường tròn)
- Tương tự dựng các góc \(\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOF}=60^o\)
- Nối các điểm A, B, C, D, E, F ta được lục giác đều nội tiếp đường tròn (O;R)
Ta có: AOB là tam giác đều nên AB = R.
Vậy độ dài cạnh lục giác đều bằng R.
+) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O;R)
Cách vẽ:
- Vẽ hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau.
- ABCD là hình vuông cần dựng.
Xét tam giác AOB vuông tại O.
Áp dụng định lý Pytago ta có:
\(AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2R^2}=R\sqrt 2\)
+) Vẽ tam giác đều ABC nội tiếp (O)
Cách dựng:
- Trên đường tròn (O), ta chia làm ba cung bằng nhau mỗi cung có số đo là \(120^o\).
- Vẽ ba dây căng ba cung đó. Ta được tam giác đều nội tiếp (O;R)
Kẻ AH vuông góc với BC.
Ta có:
\(OA=\dfrac 2 3 AH\Rightarrow AH=\dfrac 3 2 OA\) hay \(AH=\dfrac 3 2 R\)
\(BH=\dfrac{BC} 2=\dfrac{AB} 2\)
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông AHB ta có:
\(AB^2=BH^2+AH^2\\ \Rightarrow AB^2=\dfrac{AB^2}{4}+\dfrac{9}{4}R^2\\ \Rightarrow \dfrac{3}{4}AB^2=\dfrac{9}{4}R^2\\ \Rightarrow AB^2=3R^2\\ \Rightarrow AB=R\sqrt3\)
Vậy tam giác đều có cạnh là \(R\sqrt 3\)
Nhận xét:
- Từ bài toán trên ta có:
+ Độ dài cạnh tam giác, hình vuông và lục giác nội tiếp đường tròn (O; R) lần lượt là: \(R\sqrt 3, R\sqrt 2\) và \(R\)