Giải bài 75 trang 106 – SGK Toán lớp 8 tập 1

Giả sử hình chữ nhật \(ABCD\) có \(E,\,F,\, G,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,BC,\,CD,\,DA\)

Bốn tam giác vuông \(EAH,\, EBF,\, GDH,\, GCF\) có:
\(AE = BE = DG = CG = \,\,\left( \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD \right)\\ HA = FB = DH = CF \,\,\left( \dfrac{1}{2}AD= \dfrac{1}{2}BC \right)\)
Xét \(ΔEAH\) và \(ΔEBF\) có:
\(AE = BE\) (chứng minh trên)
\(\widehat{A} = \widehat{B} = 90^o\) (giả thiết)
\(AH = BF\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow ΔAHE = ΔBEF\) (cạnh - góc -cạnh)
\(\Rightarrow EH = EF\) (hai cạnh tương ứng)  \((1)\)
Xét \(ΔADG\) và \(ΔFCG\) có:
\(HD = FC\) (chứng minh trên)
\(\widehat{D} = \widehat{C} = 90^o\) (giả thiết)
\(DG = CG\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow ΔHDG = ΔFCG\) (cạnh - góc -cạnh)
\(\Rightarrow GH = GF\) (\(2\) cạnh tương ứng) \((2)\)
Xét \(ΔAHE\) và \(ΔDHG\) có:
\(HA = HD\) (chứng minh trên)
\(\widehat{A} = \widehat{D} = 90^o\)  (giả thiết)
\(AE = DG\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow ΔAHE = ΔDHG\) (cạnh - góc -cạnh)
\(\Rightarrow EH = HG\) (\(2\) cạnh tương ứng) \((3)\)
Từ \((1),\, (2)\) và \((3) \Rightarrow HE = EF = HG = GF\)
\(\Rightarrow EFGH\) là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)