Giải bài 82 trang 108 – SGK Toán lớp 8 tập 1
Cho hình 107, trong đó \(ABCD\) là hình vuông. Chứng minh rằng tứ giác \(EFGH\) là hình vuông.
Gợi ý:
Chứng minh các tam giác vuông bằng nhau.
Cho tam giác vuông \(AEH,\,DFE,\,CGH,\,DHG\) có:
\( AE = BF = CG = DH \,\,\,(1)\) (giả thiết)
Theo giả thiết \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB = BC = CD = DA \,\,(2)\) (tính chất hình vuông)
Mà \(AH = AD - DH,\,BE = AB - AE,\, CF = BC - BF,\, DG = DC - CG \,\,\,(3)\)
Từ \((1),\,(2)\) và \((3)\) suy ra \(AH = BE = CF = DG\)
Nên \(ΔAEH = ΔBFE = ΔCGF = ΔDHG\) (cạnh - góc -cạnh)
Do đó
\( HE = EF = FG = GH\) (các cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow\) Tứ giác \(EFGH\) là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)
và \(\widehat{EHA}= \widehat{FEB}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)
Ta có: \(\widehat{HEF} = 180^o - (\widehat{HEA}+ \widehat{FEB}) = 180^o - (\widehat{HEA}+ \widehat{EHA}) = 180^o - 90^o = 90^o \,\) (vì tam giác \(AHE\) vuông nên \(\widehat{HEA}+ \widehat{EHA} = 90^o\))
\( \Rightarrow\) Hình thoi \(EFGH\) là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)