Giải bài 3 trang 115 – SGK Toán lớp 8 tập 1
Cho hình thoi \(ABCD\) có góc \(\widehat{A} = 60^o.\) Gọi \(E, \,F,\, G,\, H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\, BC,\, CD,\, DA.\) Chứng minh rằng đa giác \(EBFGDH\) là lục giác đều.
Hướng dẫn:
Bước 1: Chứng minh \(EB = BF = GD = DH = EH = FG\)
Bước 2: Chứng minh \(\widehat{EBF} = \widehat{HDG} = \widehat{HEB} = \widehat{BFG} = \widehat{FGD} = \widehat{DHE}\)
Bài giải
\(ABCD\) là hình thoi (giả thiết)
\(\Rightarrow AB = BC = CD = DA\) (tính chất)
Mà \(E,\, F,\, G,\, H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\, BC,\, CD,\, DA\)
\(\Rightarrow EB = BF = GD = DH = \dfrac{AB}{2} \,\,\,\, (1)\)
Xét \(\triangle{ABD}\) có:
\(AB = AD\) (chứng minh trên)
\(\widehat{A} = 60^o\) (giả thiết)
\(\Rightarrow \triangle{ABD}\) đều
\(\Rightarrow AB = BD = DA \,\,\,\,\, (2)\)
Lại có: \(E,\, H\) lần lượt là trung điểm của \(AB, \, AD\) (giả thiết)
\(\Rightarrow EH\) là đường trung bình của \(\triangle{ABD}\)
\(\Rightarrow EH = \dfrac{BD}{2} \)
Tương tự ta chứng minh được: \(FG = \dfrac{BD}{2}\)
\(\Rightarrow EH = FG = \dfrac{BD}{2} \,\,\,\,\,(3)\)
Từ \((2)\) và \((3) \Rightarrow EH = FG = \dfrac{AB}{2} \,\,\,\, (4)\)
Từ \((1)\) và \((4) \Rightarrow EB = BF = GD = DH = EH = FG \,\,\,\, (*)\)
Tương tự ta chứng minh được: \(\triangle{CBD},\, \triangle{AEH},\, \triangle{CFG}\) là các tam giác đều nên:
\(\widehat{EBF} = \widehat{HDG} = 120^o\)
\(\widehat{HEB} = \widehat{BFG} = \widehat{FGD} = \widehat{DHE} = 120^o\) (các góc ngoài của hai tam giác đều \(AEH\) và \(FGC\))
Vậy đa giác \(EBFGDH\) có 6 góc bằng nhau \((**)\)
Từ \((*)\) và \((**) \Rightarrow EBFGDH\) là lục giác đều (đpcm)