Giải bài 3 trang 60 – Bài 12 – SGK môn Vật lý lớp 12 nâng cao
Dùng công thức lượng giác (tổng của hai cosin) tìm tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tân số góc \(\omega\), cùng biến độ và có độ lệch pha ∆φ. Đổi chiếu với kết quả nhận được bằng phương pháp sử dụng giản đồ Fre – nen.
Tổng của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số góc \(\omega\), cùng biên độ lệch pha \(\Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1\)
\(x_1=A\cos\left(\omega t+\varphi_1\right)\); \(x_2=A\cos\left(\omega t+\varphi_2\right)\)
\(\Rightarrow x=x_1+x_2=A\cos\left(\omega t+\varphi_1\right)+A\cos\left(\omega t+\varphi_2\right)\)
\(=A\left[\cos\left(\omega t+\varphi_1\right)+\cos\left(\omega t+\varphi_2\right)\right]\)
\(=2Acos\dfrac{\omega t+{{\varphi }_{1}}+\omega t+{{\varphi }_{2}}}{2}cos\dfrac{\omega t+{{\varphi }_{1}}-\omega t-{{\varphi }_{2}}}{2} \)
\(=2Acos\dfrac{2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}}{2}cos\dfrac{{{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}}{2}\)
\(x=2Acos\dfrac{\Delta \varphi }{2}cos\left( \omega t+\dfrac{{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}}{2} \right)\)
\(\Rightarrow\) Biên độ của dao động tổng hợp là \(2A\cos\dfrac{\Delta \varphi }{2}\)
\(\Rightarrow\) Pha ban đầu của dao động là tổng hợp \(\varphi = \dfrac{{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}}{2} \)
* Nếu dùng phương pháp giản đồ Fre-nen thì:
\(A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\left(\varphi_1-\varphi_2\right)\)
\(=2{{A}^{2}}.2.co{{s}^{2}}\dfrac{\Delta \varphi }{2}=4{{A}^{2}}co{{s}^{2}}\dfrac{\Delta \varphi }{2}\)
\(\Rightarrow A=2Acos\dfrac{\Delta \varphi }{2}\)
\(\tan \varphi =\dfrac{{{A}_{1}}\sin {{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}\sin {{\varphi }_{2}}}{{{A}_{1}}cos{{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}cos{{\varphi }_{2}}}=\dfrac{A\sin {{\varphi }_{1}}+A\sin {{\varphi }_{2}}}{Acos{{\varphi }_{1}}+Acos{{\varphi }_{2}}}\)
\(=\dfrac{\sin {{\varphi }_{1}}+\sin {{\varphi }_{2}}}{cos{{\varphi }_{1}}+cos{{\varphi }_{2}}}=\dfrac{2\sin \dfrac{{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}}{2}cos\dfrac{{{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}}{2}}{2cos\dfrac{{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}}{2}cos\dfrac{{{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}}{2}}=\tan \dfrac{{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}}{2}\)
\(\Rightarrow \varphi =\dfrac{{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}}{2}\)
GHI CHÚ:
- Biểu thức dao động tổng hợp:
\(x=A\cos (\omega t + \varphi)\)
với \(A\) là biên độ của dao động tổng hợp và \(\varphi\) là pha ban đầu cho bởi công thức:
\(A=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\left(\varphi_2-\varphi_1\right)\)
\(\tan \varphi = \dfrac{A_1\sin \varphi_1 + A_2\sin \varphi_2}{A_1\cos \varphi_1 + A_2\cos \varphi_2}\)