Giải bài 2 trang 68 – SGK môn Giải tích lớp 12
Tính:
a) \({{4}^{{{\log }_{2}}3}};\)
b) \({{27}^{{{\log }_{9}}2}};\)
c) \({{9}^{{{\log }_{\sqrt{3}}}2}};\)
d) \({{4}^{{{\log }_{8}}27}}. \)
Hướng dẫn: Sử dụng các công thức:
\({{\log }_{a}}a=1;\,\,\,\,{{\log }_{a}}\left( {{b}^{\alpha }} \right)=\alpha {{\log }_{a}}b;\,\,\,\,\,{{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}b=\dfrac{1}{\alpha }{{\log }_{a}}b;\,\,\,\,{{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b\)
a) \({{4}^{{{\log }_{2}}3}}={{3}^{{{\log }_{2}}4}}={{3}^{2}}=9\);
b) \({{27}^{{{\log }_{9}}2}}={{2}^{{{\log }_{9}}27}}={{2}^{{{\log }_{{{3}^{2}}}}{{3}^{3}}}}={{2}^{\frac{3}{2}}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\);
c) \({{9}^{{{\log }_{\sqrt{3}}}2}}={{2}^{{{\log }_{\sqrt{3}}}9}}={{2}^{{{\log }_{{{3}^{\frac{1}{2}}}}}{{3}^{2}}}}={{2}^{4}}=16\);
d) \({{4}^{{{\log }_{8}}27}}={{27}^{{{\log }_{8}}4}}={{27}^{{{\log }_{{{2}^{3}}}}{{2}^{2}}}}={{27}^{\frac{2}{3}}}={{\left( {{3}^{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}={{3}^{2}}=9\).
Nhận xét: Từ các công thức cơ bản, ta có thể suy ra một số công thức mở rộng sau:
\({{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}{{b}^{\beta }}=\dfrac{\beta }{\alpha }{{\log }_{a}}b,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{a}^{n{{\log }_{a}}b}}={{b}^{n}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\log }_{\sqrt[n]{a}}}b=n{{\log }_{a}}b\)