Giải bài 3 trang 61 – SGK môn Giải tích lớp 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) \(y={{x}^{\frac{4}{3}}}\);
b) \(y={{x}^{-3}} \).
a) \(y={{x}^{\frac{4}{3}}}\)
* Tập xác đinh: \(D=\left( 0;\,+\infty \right) \)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên: \(y'=\dfrac{4}{3}{{x}^{\frac{1}{3}}}>0,\,\forall x>0 \)
Hàm số đồng biến trên \(\left( 0;\,+\infty \right) \)
+) Giới hạn đặc biệt
\(\lim\limits_{x\to {{0}^{+}}}\,{{x}^{\frac{4}{3}}}=0;\lim\limits_{x\to +\infty }\,{{x}^{\frac{4}{3}}}=+\infty\)
+) Tiệm cận
Hàm số không có tiệm cận
+) Bảng biến thiên
* Đồ thị
b) \(y={{x}^{-3}} \)
* Tập xác đinh: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên: \(y'=-3{{x}^{-4}}<0,\,\forall x\ne 0\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;\,0 \right)\) và \(\left( 0;\,+\infty \right) \)
+) Giới hạn đặc biệt
\(\lim\limits_ {x\to {{0}^{+}}}\,{{x}^{-3}}=+\infty ;\, \lim\limits_ {x\to {{0}^{-}}}\,{{x}^{-3}}=-\infty\)
\(\lim\limits_ {x\to \pm \infty }\,{{x}^{-3}}=0\)
+) Tiệm cận
Trục Ox là tiệm cận ngang.
Trục Oy là tiệm cận đứng.
+) Bảng biến thiên
* Đồ thị
Ghi nhớ: Các tính chất của hàm số lũy thừa \(y=x^\alpha\) trên khoảng \((0;+\infty)\):
\(\alpha > 0\) \(\alpha < 0\) Đạo hàm \(y'=\alpha x^{\alpha -1}\) \(y'=\alpha x^{\alpha -1}\) Chiều biến thiên Hàm số luôn đồng biến Hàm số luôn nghịch biến Tiệm cận Không có Đồ thị Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1)