Giải bài 1 trang 97 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Trong các dãy số (\(u_n\)) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ? Tính số hạng đầu và công sai của nó.
a) \(u_n=5-2n\)
b) \(u_n=\dfrac{n}{2}-1\)
c) \(u_n=3^n\)
d) \(u_n=\dfrac{7-3n}{2}\)
Hướng dẫn:
Để chứng minh một dãy số là cấp số công ta chứng minh hiệu \(u_{n+1}-u_n\) không đổi với mọi n.
a) Ta có:
\(u_{n+1}-u_n=5-2(n+1)-5+2n=5-2n-2-5+2n=-2\,\,\,\forall n\in\mathbb N^*\)
Vậy (\(u_n\)) là cấp số cộng có \(u_1=3\), công sai \(d=-2\)
b) Ta có:
\({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{n+1}{2}-1-\dfrac{n}{2}+1=\dfrac{n+1}{2}-\dfrac{n}{2}=\dfrac{1}{2};\,\,\,\,\forall n\in \mathbb{N}\hat{\ }*\)
Vậy (\(u_n\)) là cấp số cộng có \( u_1=\dfrac{-1}{2}\), công sai \(d=\dfrac{1}{2}\)
c) Ta có:
\(u_{n+1}-u_n=3^{n+1}-3^n=2.3^n.\)
Vậy (\(u_n\)) không là cấp số cộng.
d) Ta có:
\({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{7-3(n+1)}{2}-\dfrac{7-3n}{2}=\dfrac{4-3n}{2}-\dfrac{7-3n}{2}=\dfrac{-3}{2} \)
Vậy (\(u_n\)) là cấp số cộng có \(u_1=2\), công sai \(d=\dfrac{-3}{2}\)