Giải bài 4 trang 128 – SGK môn Giải tích lớp 12
Cho hai tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}xdx}\) và \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\cos }^{2}}xdx}\) hãy chỉ ra khẳng định đúng:
(A) \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}xdx}>\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\cos }^{2}}xdx};\)
(B) \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}xdx}\,<\,\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\cos }^{2}}xdx};\)
(C) \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}xdx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\cos }^{2}}xdx}\);
(D) Không so sánh được.
Gợi ý:
Sử dụng công thức nhân đôi, tính giá trị từng tích phân rồi so sánh.
Ta có:
\(\begin{aligned} \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}xdx}& =\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\dfrac{1-\cos 2x}{2}dx} \\ & =\left( \dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin 2x}{4} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \end{smallmatrix}}^{\frac{\pi }{2}} \right. \\ & =\dfrac{\pi }{4} \\ \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\cos }^{2}}xdx} &=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\dfrac{1+\cos 2x}{2}dx} \\ & =\left( \dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin 2x}{4} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \end{smallmatrix}}^{\frac{\pi }{2}} \right. \\ & =\dfrac{\pi }{4} \\ \end{aligned} \)
Chọn (C)