Giải bài 35 trang 79 – SGK Toán lớp 8 tập 2
Chứng minh rằng nếu tam giác \(A'B'C'\) đồng dạng với tam giác \(ABC\) theo tỉ số \(k\) thì tỉ số của hai đường phân giác tương ứng của chúng cũng bằng \(k.\)
Gợi ý:
Chứng minh hai tam giác ABD và A'B'D' đồng dạng, với D và D' là chân đường phân giác kẻ từ đỉnh A và A' của hai tam giác.
Giả sử \( ΔA'B'C' \backsim ΔABC\) theo tỉ số đồng dạng \(k = \dfrac{A'B'}{AB}\) và \(AD, \, A'D'\) lần lượt là đường phân giác của \(ΔABC\) và \(ΔA'B'C'\)
Ta chứng minh \(\dfrac{A'D'}{AD} = k\)
Ta có: \(ΔA'B'C' \backsim ΔABC\)
\(\Rightarrow \widehat{B} = \widehat{B'}; \, \widehat{BAC} = \widehat{B'A'C'} \,\,\,\,(1)\)
Lại có: \(AD, \, A'D'\) lần lượt là đường phân giác của \(ΔABC\) và \(ΔA'B'C'\)
\(\Rightarrow \widehat{BAD} = \dfrac{\widehat{BAC}}{2} ; \, \widehat{B'A'D'} = \dfrac{\widehat{B'A'C'}}{2} \,\,\,\,(2)\)
Từ \((1)\) và \((2) \Rightarrow \widehat{BAD} = \widehat{B'A'D'}\)
Xét \(ΔABD\) và \(ΔA'B'D'\) có:
\( \widehat{B} = \widehat{B'}\) (chứng minh trên)
\(\widehat{BAD} = \widehat{B'A'D'}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ΔABD \backsim ΔA'B'D'\) (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{AD}{A'D'} = \dfrac{AB}{A'B'} = k\) (đpcm)
Nhận xét:
Tỉ số của hai đường phân giác của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.