Giải bài 2 trang 119 – SGK môn Hình học lớp 11
Cho tứ diện S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy.
b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và HK vuông góc với mặt phẳng (SBC).
c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.
a)
Gọi E là giao điểm của AH và BC.
\(\Rightarrow AE\bot BC \)
Ta có: \( SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot BC \)
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & BC\bot AE \\ & BC\bot SA \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAE \right) \\ & \Rightarrow BC\bot SE \\ \end{aligned} \)
Ta lại có \(K\) là trực tâm của tam giác \(SBC\)
\(\Rightarrow SK\bot BC\)
Trong mặt phẳng (SBC) có \( \left\{ \begin{align} & SK\bot BC \\ & SE\bot BC \\ \end{align} \right.\Rightarrow\) \(S,K,E\) thẳng hàng.
Vậy ba đường thẳng \(SK, AH, BC\) đồng quy tại K.
b)
Ta có: \(SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot BH \)
Lại có \(BH\bot AC\) (H là trực tâm tam giác ABC)
Suy ra \(BH\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BH\bot SC \)
Mặt khác ta lại có: \(SC\bot BK\) (K là trực tâm giác giác SBC)
\(\left\{ \begin{align} & SC\bot BK \\ & SC\bot BH \\ \end{align} \right.\Rightarrow SC\bot \left( BHK \right) \)
Tương tự ta có:
\(\left\{ \begin{align} & SC\bot \left( BHK \right)\Rightarrow SC\bot HK \\ & BC\bot \left( SAE \right)\Rightarrow BC\bot HK \\ \end{align} \right.\Rightarrow HK\bot \left( SBC \right) \)
c) Vì \(\left\{ \begin{align} & SA\bot \left( ABC \right) \\ & AE\subset \left( ABC \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow SA\bot AE \)
Ta có: \(\left\{ \begin{align} & AE\bot BC \\ & AE\bot SA \\ \end{align} \right. \) nên AE là đường vuông góc chung của SA và BC