Giải bài 8 trang 120 – SGK môn Hình học lớp 11
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện đều đó.
Hướng dẫn:
Xác định đường vuông góc chung của hai mặt đường thẳng rồi tính độ dài.
Gọi I và K lần lượt là các trung điểm của \(BC\) và \(AD\).
Ta có:\( IA=ID\) (hai trung tuyến của hai tam giác đều bằng nhau), do đó \(IK\bot AD \)
Tương tự ta có: \( IK\bot BC.\)
Vậy \(IK\) là đường vuông góc chung của hai cạnh đối diện \(AD\) và \(BC\) của tứ diện đều.
Ta có:
\(AI=\dfrac{a\sqrt 3}{2}\) (độ dài đường trung tuyến trong tam giác đều cạnh a)
\(AK=\dfrac{a}{2}\) (K là trung điểm của AD)
Tam giác \(AIK\) vuông tại \(K\) nên:
\(\begin{align} & I{{K}^{2}}=A{{I}^{2}}-A{{K}^{2}}={{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2} \\ & \Rightarrow IK=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} \)