Giải bài 8 trang 98 – SGK môn Hình học lớp 11
Cho tứ diện ABCD có \(AB=AC=AD\) và \(\widehat{BAC}=\widehat{BAD}={{60}^{o}} \). Chứng minh rằng:
a) \(AB\bot CD\) ;
b) Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì \( MN\bot AB\) và \(MN\bot CD\)
Hướng dẫn:
Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta chứng minh tích vô hướng hai vectơ có giá song song hoặc trùng với hai đường thẳng đó bằng 0.
a)
\(\begin{aligned} & \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} \right)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \\ & =AB.AD.\cos {{60}^{o}}-AB.AC.\cos {{60}^{o}} \\ & =0 \\ \end{aligned} \)
Vì \(AB=AC=AD;\,\,\left( \overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB} \right)=\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)={{60}^{o}} \)
b) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên ta có:
\(\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right)=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)\)
(Xem lại ví dụ 2 trang 87/ SGK)
Ta có:
\(\begin{aligned} & \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right).\overrightarrow{AB} \\ & =\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}-{{\overrightarrow{AB}}^{2}} \right) \\ & =\dfrac{1}{2}\left( AB.AD.\cos{{60}^{o}}+AC.AB.\cos {{60}^{o}}-A{{B}^{2}} \right) \\ & =\dfrac{1}{2}\left( A{{B}^{2}}\cos{{60}^{o}}+A{{B}^{2}}\cos {{60}^{o}}-A{{B}^{2}} \right)=0 \\ \end{aligned} \)
Vậy \(MN \bot AB\)
Tương tự ta có:
\(\begin{aligned} & \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} \right)\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right) \\ & =\dfrac{1}{2}\left( {{\overrightarrow{AD}}^{2}}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}-{{\overrightarrow{AC}}^{2}}+\overrightarrow{AC.}\overrightarrow{AB} \right) \\ & =\dfrac{1}{2}\left( A{{D}^{2}}-A{{C}^{2}}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} \right) \\ & =\dfrac{1}{2}\left( AC.AB.\cos{{60}^{o}}-AD.AB.\cos {{60}^{o}} \right)=0 \\ \end{aligned} \)
Vậy \(MN\bot CD \)