Giải bài 2 trang 132 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Cho hàm số:
\(f(x)=\left\{ \begin{align} & \sqrt{x}+1\,\,\text{nếu}\,\,x\ge 0 \\ & 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{nếu}\,\,x<0 \\ \end{align} \right. \)
Và các dãy số \((u_n)\) với \({{u}_{n}}=\dfrac{1}{n} , (v_n)\) với \({{v}_{n}}=-\dfrac{1}{n} \)
Tính \(\lim {{u}_{n}},\,\lim {{v}_{n}},\lim f({{u}_{n}})\) và \(\lim f({{v}_{n}}) \)
Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi \(x\to 0\)?
Ta có:
\(\begin{align} & \lim {{u}_{n}}=\lim \dfrac{1}{n}=0 \\ & \lim {{v}_{n}}=\lim \left( -\dfrac{1}{n} \right)=0 \\ \end{align}\)
Do \({{u}_{n}}=\dfrac{1}{n}>0\) và \({{v}_{n}}=-\dfrac{1}{n}<0\) nên:
\(f({{u}_{n}})=\sqrt{\dfrac{1}{n}}+1\) và \(f({{v}_{n}})=-\dfrac{2}{n}\)
Từ đó: \(\lim f({{u}_{n}})=\lim \left( \sqrt{\dfrac{1}{n}}+1 \right)=1\) và \(\lim f({{v}_{n}})=\lim \left( -\dfrac{2}{n} \right)=0\)
Vì \({{u}_{n}}\to 0\) và \({{v}_{n}}\to 0\) nhưng \( \lim f({{u}_{n}})\ne \lim f({{v}_{n}})\) nên hàm số \(f(x) \) không có giới hạn khi \(x\to 0\)