Giải bài 3 trang 169 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
\(a)\,y=5\sin x-3\cos x; \)
\(b)\,y=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}; \)
\(c)\,y=x\cot x;\)
\(d)\,y=\dfrac{\sin x}{x}+\dfrac{x}{\sin x}; \)
\(e)\,y=\sqrt{1+2\tan x};\)
Nhắc lại:
Công thức tính đạo hàm của hàm số lượng giác:
\((\sin x)'=\cos x\\ (\cos x)'=-\sin x\\ (\tan x)'=\dfrac 1 {\cos^2 x}\\ (\cot x)'=-\dfrac 1 {\sin ^2 x}\)
a) Sử dụng công thức đạo hàm của hàm \(\sin x\) và \(\cos x\)
\(y'=\left( 5\sin x \right)'-\left( 3\cos x \right)'=5\cos x+3\sin x \)
b) Sử dụng công thức \(\left( \dfrac{u}{v} \right)'=\dfrac{u'v-uv'}{{{v}^{2}}}\) và công thức đạo hàm của hàm \(\sin x;\,\, \cos x\)
\(\begin{align} & y'=\dfrac{\left( \sin x+\cos x \right)'\left( \sin x-\cos x \right)-\left( \sin x+\cos x \right)\left( \sin x-\cos x \right)'}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{\left( \cos x-\sin x \right)\left( \sin x-\cos x \right)-\left( \sin x+\cos x \right)\left( \cos x+\sin x \right)}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{-{{\left( \cos x-\sin x \right)}^{2}}-{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{-1+2\sin x\cos -1-2\sin x\cos x}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{-2}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}} \\ \end{align}\)
c) Sử dụng công thức đạo hàm của tích \( \left( u.v \right)'=u'v+uv'\)
\(y'=\cot x+x\left( \cot x \right)'=\cot x+x.\dfrac{-1}{{{\sin }^{2}}x}=\cot x-\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x} \)
d) Sử dụng công thức đạo hàm của một thương \(\left( \dfrac{u}{v} \right)'=\dfrac{u'v-uv'}{{{v}^{2}}}\) và đạo hàm của tổng.
\(\begin{align} & y'=\dfrac{\left( \sin x \right)'x-\sin x.x'}{{{x}^{2}}}+\dfrac{x'.\sin x-x.\left( \sin x \right)'}{{{\sin }^{2}}x} \\ & =\dfrac{x\cos x-\sin x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{\sin x-x\cos x}{{{\sin }^{2}}x} \\ & =\left( x\cos x-\sin x \right)\left( \dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right) \\ \end{align}\)
e) Sử dụng công thức \( \left( \sqrt{u} \right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}} \)
\(y'=\dfrac{\left( 1+2\tan x \right)'}{2\sqrt{1+2\tan x}}=\dfrac{\dfrac{2}{{{\cos }^{2}}x}}{2\sqrt{1+2\tan x}}=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x\sqrt{1+2\tan x}} \)
f) Sử dụng công thức \(\left( \sin u \right)'=u'\cos u \)
\(\begin{align} & y'=\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)'\cos \sqrt{1+{{x}^{2}}} \\ & =\dfrac{\left( 1+{{x}^{2}} \right)'}{2\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\cos \sqrt{1+{{x}^{2}}}=\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\cos \sqrt{1+{{x}^{2}}} \\ \end{align} \)