Giải bài 4 trang 169 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
\(a)\,y=\left( 9-2x \right)\left( 2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1 \right);\)
\( b)\,y=\left( 6\sqrt{x}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( 7x-3 \right);\)
\(c)\,y=\left( x-2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}\)
\(d)\,y={{\tan }^{2}}x- \cot x^{2}\)
\(e)\,y=\cos \dfrac{x}{1+x}\)
a) Sử dụng công thức đạo hàm của một tích.
\(\begin{align} & y'=\left( 9-2x \right)'\left( 2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1 \right)-\left( 9-2x \right)\left( 2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1 \right)' \\ & =-2\left( 2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1 \right)-\left( 9-2x \right)\left( 6{{x}^{2}}-18x \right) \\ & =-4{{x}^{3}}+18{{x}^{2}}-2+12{{x}^{3}}-90{{x}^{2}}+162x \\ & =8{{x}^{3}}-72{{x}^{2}}+162x-2 \\ \end{align} \)
b)
\(\begin{align} & y'=\left( 6\sqrt{x}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)'\left( 7x-3 \right)+\left( 6\sqrt{x}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( 7x-3 \right)' \\ & =\left( \dfrac{6}{2\sqrt{x}}+\dfrac{2}{{{x}^{3}}} \right)\left( 7x-3 \right)+7\left( 6\sqrt{x}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right) \\ & =\left( \dfrac{3}{\sqrt{x}}+\dfrac{2}{{{x}^{3}}} \right)\left( 7x-3 \right)+7\left( 6\sqrt{x}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right) \\ \end{align} \)
c)
\(\begin{align} & y'=\left( x-2 \right)'\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\left( x-2 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)' \\ & =\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\left( x-2 \right)\dfrac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \\ & =\dfrac{{{x}^{2}}+1+x\left( x-2 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \\ & =\dfrac{2{{x}^{2}}-2x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \\ \end{align} \)
d)
\(\begin{align} & y'=2\tan x\left( \tan x \right)'+\dfrac{\left( {{x}^{2}} \right)'}{{{\sin }^{2}}{{x}^{2}}} \\ & =\dfrac{2\tan x}{{{\cos }^{2}}x}+\dfrac{2x}{{{\sin }^{2}}{{x}^{2}}} \\ \end{align} \)
e) Sử dụng công thức \( \left( \cos u \right)'=-u'\sin u\)
\(\begin{align} & y'=-\left( \dfrac{x}{1+x} \right)'.\sin\dfrac{x}{1+x} \\ & =-\dfrac{\left( 1+x \right)-x}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}.\sin \dfrac{x}{1+x} \\ & =-\dfrac{1}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}.\sin \dfrac{x}{1+x} \\ \end{align}\)