Giải bài 4 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Chứng minh rằng hàm số
\(f(x)=\left\{ \begin{align} & {{\left( x-1 \right)}^{2}}\,\,\,\text{nếu}\,\,\,x\ge 0 \\ & -{{x}^{2}}\,\,\,\,\text{nếu}\,\,\,x<0 \\ \end{align} \right.\)
không có đạo hàm tại điểm \(x=0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x=2\)
Hướng dẫn:
Sử dụng định lý 1 SGK trang 150: Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì nó liên tục tại điểm đó.
Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại \(x=0\) ta chứng minh hàm số gián đoạn tại \(x=0\).
Ta có:
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to {{0}^{+}}}\,f(x)=\lim\limits_{x\to {{0}^{+}}}\,{{(x-1)}^{2}}=1 \\ & \lim\limits_{x\to {{0}^{-}}}\,f(x)=\lim\limits_{x\to {{0}^{-}}}\,(-{{x}^{2}})=0 \\ & \Rightarrow \lim\limits_{x\to {{0}^{-}}}\,f(x)\ne \lim\limits_{x\to {{0}^{+}}}\,f(x) \\ \end{align} \)
Nên hàm số gián đoạn tại \(x=0\).
Vậy hàm số \(y=f(x)\) không có đạo hàm tại \(x=0\).
Tính đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại \(x=2\) bằng định nghĩa:
\(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{f(2+\Delta x)-f\left( 2 \right)}{\Delta x}\\= \lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{{{\left( 1+\Delta x \right)}^{2}}-1}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{2\Delta x+{{\left( \Delta x \right)}^{2}}}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\left( 2+\Delta x \right)=2 \)
Vậy đạo hàm cả hàm số \(y=f(x) \) tại \(x=2\) là \(2\).