Giải bài 6 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \(y=\dfrac{1}{x}\)
a) Tại điểm \(\left(\dfrac{1}{2};2\right)\);
b) Tại điểm có hoành độ bằng \(-1\);
c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(\dfrac{-1}{4}\).
Lời giải:
Ta có:
\(\begin{align} & f'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{\dfrac{1}{{{x}_{0}}+\Delta x}-\dfrac{1}{{{x}_{0}}}}{\Delta x} \\ & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{-1}{{{x}_{0}}\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)}=\dfrac{-1}{x_{0}^{2}} \\ \end{align}. \)
\(\begin{align} & f'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{\dfrac{1}{{{x}_{0}}+\Delta x}-\dfrac{1}{{{x}_{0}}}}{\Delta x} \\ & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{-1}{{{x}_{0}}\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)}=\dfrac{-1}{x_{0}^{2}} \\ \end{align}. \)
a) Ta có: \({{x}_{0}}=\dfrac{1}{2};\,{{y}_{0}}=2;\,f'\left( {{x}_{0}} \right)=f'\left( \dfrac{1}{2} \right)=-4 \)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac {1}{x}\) tại \(\left(\dfrac{1}{2};2\right)\) là:
\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y-2=-4\left( x-\dfrac{1}{2} \right) \\ & \Leftrightarrow y=-4x+4 \\ \end{align} \)
\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y-2=-4\left( x-\dfrac{1}{2} \right) \\ & \Leftrightarrow y=-4x+4 \\ \end{align} \)
b) Điểm có hoành độ bằng \(-1\) thuộc đồ thị hàm số thì có tung độ là \(-1\)Vậy tọa độ tiếp điểm là \((-1;-1)\)Ta có: \(x_0=-1;\,y_0=-1; f’(x_0)=f’(-1)=-1\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{x}\) tại \((-1;-1)\) là:
\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y+1=-\left( x+1 \right) \\ & \Leftrightarrow y=-x-2 \\ \end{align}\)
c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng \( -\dfrac{1}{4}\), suy ra: \( f'\left( {{x}_{0}} \right)=\dfrac{-1}{4}\Leftrightarrow \dfrac{-1}{x_{0}^{2}}=\dfrac{-1}{4}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\pm 2 \)
Với \(x_0=-2\), thì \(y_0=\dfrac{-1}{2}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{x}\) là:
\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}.\left( x+2 \right) \\ & \Leftrightarrow y=\dfrac{-1}{4}x-1 \\ \end{align}\)
Với \(x_0=2\), thì \(y_0=\dfrac{1}{2}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{x}\) là:
\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}.\left( x-2 \right) \\ & \Leftrightarrow y=\dfrac{-1}{4}x+1 \\ \end{align}\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{x}\) tại \((-1;-1)\) là:
\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y+1=-\left( x+1 \right) \\ & \Leftrightarrow y=-x-2 \\ \end{align}\)
c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng \( -\dfrac{1}{4}\), suy ra: \( f'\left( {{x}_{0}} \right)=\dfrac{-1}{4}\Leftrightarrow \dfrac{-1}{x_{0}^{2}}=\dfrac{-1}{4}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\pm 2 \)
Với \(x_0=-2\), thì \(y_0=\dfrac{-1}{2}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{x}\) là:
\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}.\left( x+2 \right) \\ & \Leftrightarrow y=\dfrac{-1}{4}x-1 \\ \end{align}\)
Với \(x_0=2\), thì \(y_0=\dfrac{1}{2}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{x}\) là:
\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}.\left( x-2 \right) \\ & \Leftrightarrow y=\dfrac{-1}{4}x+1 \\ \end{align}\)
Ghi nhớ:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0;f(x_0))\) là: \(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\), trong đó: \(y_0=f(x_0).\)
Vậy để viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại một tiếp điểm, ta phải biết được:
- Tọa độ tiếp điểm.
- Đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0\) là hoành độ của tiếp điểm.
Tham khảo lời giải các bài tập Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm khác
Giải bài 1 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Tìm số gia của hàm...
Giải bài 2 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Tính \(\Delta...
Giải bài 3 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Tính (bằng định nghĩa)...
Giải bài 4 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh rằng hàm...
Giải bài 5 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Viết phương trình tiếp...
Giải bài 6 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Viết phương trình tiếp...
Giải bài 7 trang 157 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Một vật rơi tự do theo...
Mục lục Chương 5: Đạo hàm theo chương
Chương 5: Đạo hàm - Đại số và Giải tích 11
+ Mở rộng xem đầy đủ