Giải bài 31 trang 16 – SGK Toán lớp 8 tập 1
Chứng minh rằng:
a) \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b)\)
b) \(a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a -b)\)
Áp dụng: Tính \(a^3 + b^3,\) biết \(a.b = 6\) và \(a + b = -5\)
a) \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b)\)
Biến đổi vế phải:
\((a + b)^3 - 3ab(a + b)\)
\(= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - 3a^2b - 3ab^2\)
\(= a^3 + b^3\)
Vậy \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)\)
b) \(a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)\)
Biến đổi vế phải:
\((a - b)^3 + 3ab(a - b)\)
\(= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 + 3a^2b - 3ab^2\)
\(= a^3 - b^3\)
Vậy \(a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)\)
Áp dụng: Với \(ab = 6,\, a + b = - 5,\) ta được:
\(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)\)
\(= (-5)^3 - 3.6.(-5) \)
\(= -5^3 + 3.6.5\)
\(= -125 + 90 \)
\(= -35\)
Nhận xét:
Từ bài toán ta chứng minh được biểu thức:
\(a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b)\) và \(a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a -b)\)