Giải bài 4 trang 83 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Cho tổng \({{S}_{n}}=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{n.(n+1)} \)với \(n\in\mathbb N^*\)
a) Tính \(S_1, S_2, S_3.\)
b) Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp.
Hướng dẫn:
a) Thay n =1, 2, 3 vào công thức rồi tính.
b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo các bước:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=1.Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n=k (k là số tự nhiên bất kỳ)Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.
a) Ta có:
\({{S}_{1}}=\dfrac{1}{1.2}=\dfrac{1}{2}\)
\({{S}_{2}}=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}=\dfrac{2}{3}\)
\({{S}_{3}}=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}=\dfrac{3}{4}\)
b) Dự đoán: \(S_n=\dfrac{n}{n+1}\)(*)
Chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp với \(n\in \mathbb N^*\)
Với \(n=1\) ta có: \({{S}_{1}}=\dfrac{1}{1.2}=\dfrac{1}{2}\)(đúng). Vậy (*) đúng với \(n=1\).
Giả sử (*) đúng với \(n=k\), tức là \({{S}_{k}}=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{k.(k+1)}=\dfrac{k}{k+1} \)
Ta chứng minh (*) đúng với \(n=k+1\) tức là chứng minh:
\({{S}_{k+1}}=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{(k+1).(k+2)}=\dfrac{k+1}{k+2} \)
Thật vậy, ta có:
\({{S}_{k+1}}=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{k(k+1)}+\dfrac{1}{(k+1).(k+2)}=\dfrac{k}{k+1}+\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\\=\dfrac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2}\\=\dfrac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)} \\=\dfrac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}\\=\dfrac{k+1}{k+2} \)
Vậy (*) đúng với \(n=k+1\) nên (*) đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)