Giải bài 5 trang 83 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Hướng dẫn:

Các bước chứng minh một mệnh đề toán học liên quan đến số tự nhiên \(n\in \mathbb N^*\) là đúng với mọi n ta làm như sau:

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 4.

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k > 4 (k là số tự nhiên bất kỳ)

Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.

Với \(n=4\), ta có tứ giác.

Thay \(n=4\) vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là \(\dfrac{4(4-3)}{2}=2\)

Vì tứ giác có 2 đường chéo nên công thức đúng.

Vậy khẳng định trên đề bài đúng với \(n=4\).

Giả sử đa giác lồi \(k\) cạnh (\(k\ge 4\)) có số đường chéo là \(\dfrac{k(k-3)}{2}\) (giả thiết quy nạp)

Xét đa giác lồi \(k+1\) cạnh.

Ta phải chứng minh công thức đúng với \(k+1\), nghĩa là phải chứng minh đa giác lồi \(k+1\) cạnh có số đường chéo là \(\dfrac{(k+1)[(k+1)-3]}{2}\)

Nối \(A_1\) và \(A_k\), ta được đa giác \( k\) cạnh \(A_1A_2...A_k \) có \(\dfrac{n(n-3)}{2}\)  đường chéo.

Nối \(A_{k+1}\) với các định \(A_2, A_3, ..., A_{k-1}\), ta được thêm \(k-2\) đường chéo ngoài ra \(A_1A_k\) cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác \(k+1\) cạnh là: 

\(\dfrac{k(k-3)}{2}+k-2+1=\dfrac{{{k}^{2}}-k-2}{2}=\dfrac{(k+1)\left[ \left( k+1 \right)-3 \right]}{2}\)

Vậy khẳng định cũng đúng với đa giác \( k+1\) cạnh.
Do đó số đường chéo của đa giác lồi n cạnh là \(\dfrac{n(n-3)}{2}\)đường chéo (\(n\ge 4\))