Giải bài 5 trang 58 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Từ khai triển nhị thức \((3x-4)^{17}\) thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.
Hướng dẫn:
- Viết khai triển của nhị thức \((3x-4)^{17}\)
- Từ đó xác định công thức tính tổng hệ số của đa thức nhận được sau khi khai triển.
- Tính tổng hệ số cần tìm.
Gợi ý: \(\sum\limits_{k=0}^{n}{{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}=(a-b)^k} \)
Bài giải:
Ta có:
\({{(3x-4)}^{17}}=\sum\limits_{k=0}^{17}{C_{17}^{k}{{(3x)}^{17-k}}{{(-4)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{17}{C_{17}^{k}{{3}^{17-k}}{{(-4)}^{k}}{{x}^{17-k}}} \)
Tổng các hệ số của đa thức nhận được của khai triển trên là:
\(\sum\limits_{k=0}^{17}{{{3}^{17-k}}{{(-4)}^{k}}={{(3-4)}^{17}}={{(-1)}^{17}}=-1} \)
Cách khác:
Tổng hệ số của đa thức \(f(x)=(3x-4)^{17}\) là giá trị của đa thức tại \(x=1\)
Ta có: \(f(1)=(3.1-4)^{17}=(-1)^{17}=-1\)