Giải bài 6 trang 104 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Cho hình vuông \(C_1\) có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \(C_2\) (hình bên). Từ hình vuông \(C_2\) lại tiếp tục như trên để được hình vuông \(C_3\)… Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông \(C_1, C_2, C_3, …,C_n\)
Gọi \(a_n\) là độ dài cạnh của hình vuông \(C_n\). Chứng minh dãy số (\(a_n\)) là một cấp số nhân.
Hướng dẫn:
Tính \(a_{n+1}\) theo \(a_n\)
Để chứng minh một dãy số là cấp số nhân, ta chứng minh \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) có giá trị không đổi với mọi n
Xét dãy (\(a_n\)), với \(a_1=4\).
Giả sử hình vuông \(C_n \) độ dài cạnh là \(a_n\). Hình vuông \(C_{n+1}\) có độ dài cạnh là \(a_{n+1}\)
Áp dụng định lý Pytago ta có:
\(\begin{aligned} & {{a}_{n+1}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{1}{4}{{a}_{n}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{4}{{a}_{n}} \right)}^{2}}}={{a}_{n}}\dfrac{\sqrt{10}}{4},\,\,\,\forall n\ge 1 \\ & \Rightarrow \dfrac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\dfrac{\sqrt{10}}{4},\,\,\,\forall n\ge 1 \\ \end{aligned} \)
Vậy dãy số (\(a_n\)) là cấp số nhân với \(a_1=4\) và công bội \(q=\dfrac{\sqrt{10}}{4}\)