Giải bài 2 trang 34 – SGK môn Hình học lớp 11

Gọi A’ và d’ lần lượt là ảnh của A và d qua các phép biến hình trên.
 

a) Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến vectơ \(\overrightarrow{v}=\left( 2;1 \right)\) là  \(\left\{ \begin{aligned} & x'=x+2 \\ & y'=y+1 \\ \end{aligned} \right. \)

Do vậy, ảnh của \(A(-1;2)\) là \(A’(1;3)\)
 

Gọi \(M(x,y)\) thuộc d:  \(3x+y+1=0\)

\(M'={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=\left( x';y' \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x'=x+2 \\ & y'=y+1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=x'-2 \\ & y=y'-1 \\ \end{aligned} \right.\) 

Thay vào phương trình đường thẳng d, ta có:

\(\begin{aligned} & 3\left( x'-2 \right)+\left( y'-1 \right)+1=0\Leftrightarrow 3x'+y'-6=0 \\ & \Rightarrow M'\in d':3x+y-6=0 \\ \end{aligned} \)

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: \(3x+y-6=0\)

b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy là  \(\left\{ \begin{aligned} & x'=-x \\ & y'=y \\ \end{aligned} \right. \)

Do vậy, ảnh của \(A(-1;2)\) là \(A’(1;2)\)

Gọi \(M(x,y)\) thuộc d: \(3x+y+1=0\)

\(M'={{\text{Đ}}_{Oy}}\left( M \right)=\left( x';y' \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x'=-x \\ & y'=y \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=-x' \\ & y=y' \\ \end{aligned} \right. \)

Thay vào phương trình đường thẳng d, ta có:

\(\begin{aligned} & 3\left( -x' \right)+y'+1=0\Leftrightarrow 3x'-y'-1=0 \\ & \Rightarrow M'\in d':3x-y-1=0 \\ \end{aligned} \)

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: \(3x-y-1=0\)

c) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ O là \(\left\{ \begin{aligned} & x'=-x \\ & y'=-y \\ \end{aligned} \right. \)

Do vậy, ảnh của \(A(-1;2)\) là \(A’(1;-2)\)

Gọi \(M(x,y)\) thuộc d, ta có: \(3x+y+1=0\)

\(M'={{\text{Đ}}_{O}}\left( M \right)=\left( x';y' \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x'=-x \\ & y'=-y \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=-x' \\ & y=-y' \\ \end{aligned} \right. \)

Thay vào phương trình đường thẳng d, ta có:

\(\begin{aligned} & 3\left( -x' \right)+\left( -y' \right)+1=0\Leftrightarrow 3x'+y'-1=0 \\ & \Rightarrow M'\in d':3x+y-1=0 \\ \end{aligned} \)

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: \( 3x+y-1=0\)

d)

Qua phép quay tâm O góc \(90^o\), \(A(-1;2)\) biến thành \(A’ (-2;-1)\), \(B(0;-1)\) biến thành \(B’(1;0).\)

Vì \( A, B\) thuộc d nên \(A’, B’\) thuộc d’.

Phương trình đường thẳng d’ là phương trình \(A’B’.\)

Ta có: \(\overrightarrow{A'B'}=\left( 3;1 \right) \Rightarrow \overrightarrow {n_{AB}}=(1;-3)\) 

Phương trình d’ là: \(\left( x-1 \right)-3y=0\Leftrightarrow x-3y-1=0 \)